Verteiler sind Borel-Sets

Question

Erwägen $M\subseteq \mathbb{R}^n$, ein (eingebettet) $C^{k\geq 1}$ Verteiler.

Ist $M$ Borel?

Ich denke ja, aber ich konnte das nicht beweisen. In einigen Zusammenhängen habe ich überprüft, ob Integrale über Mannigfaltigkeiten in Bezug auf Hausdorff-Maßnahmen sinnvoll sind.

Mein Versuch:

1. Diagramme von stetigen Funktionen sind Borel: let $U$ offen sein und $f:U \rightarrow \mathbb{R}^q$kontinuierlich sein. Lassen$\phi(x)=(x,f(x))$eine kontinuierliche Funktion. Wir können schreiben$U=\bigcup_n K_n$ für einige kompakte Sets $K_n \subseteq U$ und deshalb $\text{graf}f=\phi(U)=\bigcup_n\phi(K_n)$, so dass der Graph von $f$ ist die zählbare Vereinigung kompakter (daher Borel) Mengen.
2. Ein Verteiler ist "zählbar lokal" der Graph von a $C^k$ Funktion: Damit meine ich das $M$ ist die zählbare Vereinigung der Graphen einiger $C^k$Funktionen. Hier stecke ich fest. ich weiß das$M$ist lokal ein Diagramm, aber ich kann die Zählbarkeitseigenschaft nicht erhalten. Ich habe darüber nachgedacht, die Dichte der Rationalen in den reellen Zahlen zu verwenden, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies der richtige Weg ist, auch weil ich nicht sicher bin, ob die zweite Zählbarkeit von$M$ ist mit meiner Definition von Verteiler garantiert (siehe unten).

Haben Sie einen Hinweis, wie Sie durch Punkt 2 kommen, vorausgesetzt, meine Behauptung ist korrekt?

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$M\subseteq \mathbb{R}^n$ ist ein eingebettetes $C^{k\geq 1}$ $m-$mannigfaltig wenn für jeden $p$ im $M$ es gibt $U\subseteq \mathbb{R}^m$ offen und $\phi:U\rightarrow M$ der Klasse $C^{k}$ so dass:

• $\phi(U)$ ist eine Nachbarschaft von $p$, öffnen in $M$
• $\phi$ ist ein Homöomorphismus auf seinem Bild
• $d\phi$ ist überall injektiv

Answer 1

$\bullet$ $\mathbb R^n$ ist zweitens zählbar mit zählbarer Basis $B$ gegeben durch alle Kugeln mit rationalen Radien und Zentren.

$\bullet$ Teilräume von zweitzählbaren Räumen sind zweitzählbar: Wenn $Y\subseteq X$ und $B$ ist eine zählbare Basis für $X$, dann $\{U\cap Y: U\in B\}$ ist eine zählbare Basis für $Y$.

$\bullet$Zweite zählbare Leerzeichen sind Lindelöf: Jede offene Abdeckung lässt eine zählbare Unterabdeckung zu (siehe zum Beispiel hier oder hier ).

Also eine eingebettete Untervielfalt $M$ von $ \mathbb R^n$ Dies ist "zählbar lokal" der Graph einer kontinuierlichen Funktion, der Ihren Beweis beendet.