Wahrscheinlichkeit einer Krankheit - Bayes-Theorem-Problem

Question

3% des Landes haben eine Störung. Das Gesundheitsinstitut hat jedoch kürzlich einen Test für die Störung entwickelt, der eine "wahr-positive" Rate von 97% (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person positiv getestet wird, wenn sie an der Störung leidet) und eine falsch positive Rate von 2% (die Wahrscheinlichkeit, dass a Person wird positiv testen, da sie NICHT die Störung hat). Wenn Sie den Test (unabhängig) zweimal gleichzeitig durchführen und feststellen, dass Sie bei einem Ergebnis positiv und bei einem anderen negativ waren, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie tatsächlich an der Störung leiden?

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Ich habe jetzt seit ein paar Stunden versucht, diese Frage zu lösen, aber ich hatte kein Glück. Es scheint ein Problem mit dem Bayes-Theorem zu sein, aber es scheint, dass es drei "gegebene" Ereignisse gibt, auf die man sich einstellen kann. Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich dieses Problem angehen soll. Kann mir bitte jemand helfen? Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Tatsache nutzen soll, dass 3% des Landes eine Störung haben.

Ich dachte, es könnte folgendes sein:

$$\frac{0.03(0.97 \cdot 0.03 + 0.03 + 0.97)}{0.03 \cdot (0.97 \cdot 0.03 + 0.03 \cdot 0.97) + 0.97 \cdot (0.02 \cdot 0.98 + 0.98 \cdot 0.02)} \approx 0.043902,$$

aber ich bin mir wirklich nicht sicher.

Answer 1

Um die hintere Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, benötigen Sie zwei Aktualisierungen der vorherigen Wahrscheinlichkeit eines Bürgers mit dieser Störung ($3\%$).

Im Allgemeinen,

$P(T+| D) \cdot P(D) = P(D | T+) \cdot P(T+)$,

wo $D$ bedeutet "der Bürger hat die Störung" und $T+$ bedeutet "der Bürger testet positiv".

In diesem Fall, $P(D)=3\%$ und $P(T+|D)=97\%$.

$P(T+)$ kann als Partition einer Domain berechnet werden:

$P(T+) = P(T+|D)\cdot P(D) + P(T+|\bar{D})\cdot P(\bar{D})$,

wo $\bar{D}$ bedeutet "der Bürger hat die Störung nicht", und $P(\bar{D})=1-0.03=97\%$. $P(T+|\bar{D})$ist die falsch positive Rate (die Wahrscheinlichkeit, positiv zu testen, wenn man die Störung nicht hat). In diesem Fall,$P(T+|\bar{D})=2\%$. Dann,

$\begin{align} P(T+) &= 0.97\cdot 0.03 + 0.02\cdot0.97 \\ &= 0.0485 \end{align}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bürger die Störung hat, nachdem er positiv getestet wurde, ist also

$\begin{align} P(D|T+) &= \dfrac{0.97}{0.0485}\cdot 0.03 \\ &= 60\% \end{align}$

Sie testen sich jedoch erneut und diesmal ist es wieder negativ. Sie müssen dieses Verfahren nur erneut anwenden:

$P(T-|D)\cdot P(D) = P(D|T-)\cdot P(T-)$,

außer du benutzt $P(D)=60\%$, die aktualisierte Wahrscheinlichkeit, dass ein Bürger, der positiv getestet wurde, die Störung hat. In diesem Fall,

$\begin{align} P(T-|D) &= 1-0.97 = 3\% \\ P(T-|\bar{D}) &= 1-0.02 = 98\% \end{align}$

In meinen Berechnungen kam es heraus $P(D|T-)=4.4\%$

Answer 2

Angenommen, der zweite Test ist unabhängig vom ersten Test (dies bedeutet, dass das zweite Testergebnis vom ersten Test nicht beeinflusst wird). Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit der Störung ein + und ein Testergebnis erhält, beträgt 2 x 0,03 x 0,97 = 0,0582, während die Wahrscheinlichkeit, dass eine gesunde Person ein + und ein Testergebnis erhält, 2 x 0,02 x 0,98 = 0,0392 beträgt. Wenn wir dann den Bayes-Satz anwenden, erhalten wir

P = (0,03 × 0,0582) / (0,03 × 0,0582 + 0,97 × 0,0392) = 4,39%

Dies ist das gleiche wie das Ergebnis von LmnICE, obwohl die Methoden irgendwie unterschiedlich sind.