Warum sind diese diagonalen Elemente positiv?

Question

Angenommen, ich habe eine positive definitive Matrix $X\in\mathcal{S}^n_{++}$wobei letzteres den Raum symmetrischer positiver bestimmter Matrizen bezeichnet. Lassen$Y$sei einfach symmetrisch. Wir können schreiben$Y$ wie $Y=Q\Lambda Q^T$, wo $Q$ist eine orthogonale Matrix. Können wir etwas über die diagonalen Elemente von sagen?$(Q^TX^{-1}Q)$. Ich vermute, dass es wahr ist, dass sie positiv sind, dh$(Q^TX^{-1}Q)_{ii}>0$. Aber wie kann man das sehen?

Answer 1

Die Umkehrung einer SPD-Matrix $X$ ist SPD: es ist symmetrisch, weil $(X^{-1})^T=(X^T)^{-1}=X^{-1}$und seine Eigenwerte sind die Umkehrungen der Eigenwerte von $X$.

Für eine orthogonale Matrix $Q$, die Matrix $Q^TX^{-1}Q$ist auch SPD, da es ähnlich ist$X^{-1}$.

Nun zu jeder SPD-Matrix $A$, $A_{jj}=e_j^TAe_j>0$, wo $e_j$ ist der Vektor mit allen Null-Einträgen außer dem $j$-th, was ist $1$.