Was ist der Rang eines Vektors?
Aus der linearen Algebra wissen wir, dass der Rang einer Matrix die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten oder Zeilen in einer Matrix ist. Für eine Matrix kann der Rang also durch einfache Zeilenreduktion, Determinante usw. bestimmt werden. Ich frage mich jedoch, wie das Konzept eines Ranges für einen einzelnen Vektor gilt, d. H.$\mathbf{v} = [a, \ b, \ c]^{\top}$. Meine Intuition legt nahe, dass der Rang gleich 1 sein muss, aber ich bin mir nicht einmal sicher, ob er für einen Vektor definiert ist. Kann jemand helfen, etwas Licht in dieses Problem zu bringen?
Danke im Voraus.
Antworten
Ein Vektor ist ein Element in einem Vektorraum. Als solches hat es keinen Rang. Eine Matrix im Kontext der linearen Algebra ist interessant, weil sie eine lineare Transformation zwischen Vektorräumen darstellt. Es ist die lineare Transformation, die uns wichtig ist, nicht das Rechteck aus Zahlen, das wir Matrix nennen. Eine lineare Transformation hat einen Rang und dieser Rang ist die Dimension des Bildes der linearen Transformation. Es ist ein interessantes Konzept, da es ein Maß dafür ist, wie groß die lineare Transformation ist. Es kommt einfach so vor, dass, wenn die lineare Transformation als Matrix dargestellt wird, der Rang auf verschiedene bequeme Arten berechnet werden kann.
In diesem Sinne ist die oberflächliche Ähnlichkeit eines Vektors mit einer Matrix irreführend. Ein Vektor ist keine Darstellung einer linearen Transformation zwischen Vektorräumen. Aus diesem Grund macht es einfach keinen Sinn zu fragen, welchen Rang ein Vektor hat.
Eine andere Definition des Ranges einer Matrix ist die Dimension des Vektorraums, der von seiner Spalte überspannt wird, sodass jeder Vektor ungleich Null einen Raum der Dimension 1 überspannt.