Weierstrass M Test- und Analysefunktionen

Question

Ich habe untersucht, wie man einige PDEs mit der Fourier-Methode löst. Aber ich würde gerne wissen, warum wir nicht einfach Taylor Series verwenden, um diese zu lösen. Nach ein wenig Recherche fand ich zwei interessante Ergebnisse: 1.) Einheitliche Konvergenz Vs. Punktweise Konvergenz, die ich ziemlich gut verstanden habe; 2.) Cauchy-Kowaleski-Theorem, das ich nicht konnte.

Mein Versuch, DEs (über Taylor Series) im Allgemeinen zu lösen, scheint gemäß dem ersten Thema falsch zu sein. Das liegt daran, dass ich nur eine punktuelle Konvergenz sicherstellen kann. Folgendes habe ich bisher getan: Ich ersetze jede Funktion in ihre Taylor-Reihenform. Dann schließe ich, dass es konvergieren wird, wenn:

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{f^{(n+1)}(z_0)}{f^{(n)}(z_0)} \right| \leq M \in \mathbb{R}_+\tag{1}\label{1} $$

Um \ eqref {1} zu erreichen, schreibe ich neu $f$in die Form der Taylor-Serie und wenden dann den Verhältnis-Test an. Wie es scheint, wird jedoch eine punktweise Konvergenz sichergestellt, die nicht ausreicht.

Meine Frage lautet also: Dürfen wir mit dem Weierstrass M-Test prüfen, ob die Taylor-Serie gleichmäßig konvergiert oder nicht? Wenn ja, wie soll ich mit den Berechnungen fortfahren? Nehmen wir alle Funktionen an$f$ sind komplexe analytische in ihren offenen und einfach verbundenen Domänen.

Wie kann ich jeden finden? $M_n$ ((https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_M-test)?

Jede Hilfe und Empfehlungen sind willkommen. Vielen Dank

Answer 1

Was ich denke, Sie vermissen die Definition des Konvergenzradius.

1. Eine Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n $ konvergiert absolut und punktweise für $|z|<R$, wo $R$ ist der Konvergenzradius, definiert durch $$ \frac1R \overset{\triangle}= \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.$$ In der Tat für jeden $z$ so dass $|z|<R$, wir haben $|z|/R<1$, so können wir die geometrische Reihenformel wie folgt verwenden: $$ \sum_{n=0}^\infty |a_n z^n| = \sum_{n=0}^\infty (|a_n|^{1/n} |z|)^n \le \sum_{n=0}^\infty \left (\frac1R|z|\right)^n = \frac1{1-|z|/R} < \infty. $$

2. Sobald Sie wissen, dass es auf einem offenen Ball konvergiert $|z|<R$können Sie das für jeden überprüfen $\epsilon>0$konvergiert es gleichmäßig am Set $\{z:|z|<R-\epsilon\}$. Dies ist durch den Weierstrass M-Test:$$ |a_n z^n| \le \left(\frac1R|z|\right)^n \le \left(\frac{R-\epsilon}R\right)^n =: M_n $$ schon seit $\sum_{n=0}^\infty M_n < \infty$ (wieder geometrische Reihen), $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ konvergiert absolut und gleichmäßig.

Answer 2

Potenzreihen konvergieren nicht gleichmäßig auf ihrer Konvergenzscheibe. Sie tun dies jedoch lokal, was bedeutet, dass sie auf jeder kompakten Teilmenge ihrer Konvergenzscheibe gleichmäßig konvergieren. Der Weierstraß-M-Test kann verwendet werden, um dies zu beweisen.

Beachten Sie zunächst, dass jede kompakte Teilmenge einer Disc auf zentriert ist $z_0$ ist in einer ebenfalls zentrierten CD enthalten $z_0$. Es reicht also aus, auf CDs eine gleichmäßige Konvergenz zu zeigen$K_r(z_0)$ mit Radius $r$ kleiner als der Konvergenzradius $R$. Auf einer solchen Scheibe haben wir

$$\vert a_k(z-z_0)^k\vert=\vert a_k\vert\vert z-z_0\vert^k\leq\vert a_k\vert r^k,$$

und es ist bekannt, dass die Reihe mit diesen Begriffen konvergiert, weil die ursprüngliche Potenzreihe absolut konvergiert. Jetzt können wir den Test anwenden, um eine gleichmäßige Konvergenz auf der CD zu zeigen. Aber es wird im Allgemeinen nicht auf der gesamten Konvergenzscheibe konvergieren. Zum Beispiel nicht die Reihenerweiterung der Exponentialfunktion. Auch die Serienerweiterung von$\frac{1}{1-x}$ beim $0$.