Welche Root-Systeme lassen ein richtiges Root-Subsystem mit voller Spannweite zu?

Question

Lassen $\Phi$ ein irreduzibles Wurzelsystem von sein $\mathrm{rank}(\Phi) = n$. Ich erlaube den Fall wo$\Phi$ wird nicht reduziert.

Sagen Sie, dass eine Teilmenge $\Psi \subset \Phi$ist ein Root-Subsystem, wenn es sich um ein eigenständiges Root-System handelt. Zum Beispiel der Schnittpunkt von$\Phi$ mit jedem richtigen linearen Unterraum von $\mathrm{span}(\Phi)$ ist ein Root-Subsystem.

Ich möchte alle Beispiele für Paare auflisten $(\Phi,\Psi)$ wo $\Psi$ ist ein Root-Subsystem mit vollem Rang von $\Phi$nämlich $\mathrm{span}(\Psi) = \mathrm{span}(\Phi)$.

Eine offensichtliche Familie von Beispielen umfasst $(BC_n,B_n)$ und $(BC_n,C_n)$. Möglicherweise gibt es andere Beispiele? Wie finde ich systematisch alle diese Paare?

Eine Lehrbuchreferenz wäre ebenfalls willkommen.

Answer 1

Hier ist eine Strategie, um solche Root-Subsysteme für irreduzible (reduzierte) Root-Systeme zu finden:

Nehmen Sie das erweiterte Dynkin-Diagramm des Wurzelsystems, das Sie betrachten, und entfernen Sie einen der Eckpunkte (und die Kanten, die ihn berühren). Sie haben ein Dynkin-Diagramm mit dem gleichen Rang wie das ursprüngliche, und dies ergibt ein Root-Subsystem.

Dies ergibt die folgenden richtigen Root-Subsysteme mit vollem Rang:

• Für Typ $A_n$: Keiner
• Für Typ $B_{n\ge 3}$:: $D_i \times B_{n-i}$ (zum $ 2\le i \le n$)
• Für Typ $C_{n\ge 2}$:: $C_i \times C_{n-i}$ (zum $ 1\le i \le n-1$)
• Für Typ $D_{n\ge 4}$:: $D_i \times D_{n-i}$ (zum $2 \le i \le n-2$)
• Für Typ $E_6$:: $A_1 \times A_5$ und $A_2 \times A_2 \times A_2$
• Für Typ $E_7$:: $A_1 \times D_6$, $A_2 \times A_5$, $A_3 \times A_3 \times A_1$, und $A_7$
• Für Typ $E_8$:: $A_1 \times E_7$, $A_2 \times E_6$, $A_3 \times D_5$, $A_4 \times A_4$, $A_5 \times A_1 \times A_2$, $A_7 \times A_1$, $D_8$ und $A_8$
• Für Typ $F_4$:: $A_1 \times C_3$, $A_2 \times A_2$, und $B_4$
• Für Typ $G_2$:: $A_1 \times A_1$ und $A_2$.

---

Hinzugefügt : In der ersten Version dieser Antwort dachte ich, dass dies (mit Iteration, siehe unten) ausreichen würde, aber es ist nicht so. Zum Beispiel die Aufnahme$D_n \subset C_n$wird noch nicht angezeigt. In gewisser Weise "sieht" diese Prozedur nur Subsysteme, die die höchste Wurzel enthalten, die immer eine lange Wurzel ist. Bei BCFG-Wurzelsystemen, dh solchen mit zwei unterschiedlichen Wurzellängen, müssen wir auch eine Erweiterung des Dynkin-Diagramms mit der (negativen der) höchsten kurzen Wurzel betrachten und dann einen der anderen Eckpunkte löschen. Die Diagramme sehen

folgendermaßen aus : und wir erhalten die folgenden Möglichkeiten, die noch nicht aufgeführt wurden:

• Für Typ $B_{n\ge 3}$:: $B_i \times B_{n-i}$ (zum $ 1\le i \le n$)
• Für Typ $C_{n\ge 2}$:: $D_i \times C_{n-i}$ (zum $ 2\le i \le n$)
• Für Typ $F_4$:: $C_4$, $A_1 \times A_3$, und $B_3 \times A_1$

Ich habe das Gefühl, aber noch keinen strengen Beweis, dass dies und das folgende Iterationsverfahren alle Möglichkeiten ausschöpfen.

Ein Wort darüber, warum dieses Verfahren mit dem Dynkin-Diagramm, das zuerst durch das Negativ der höchsten oder höchsten kurzen Wurzel erweitert wurde, funktioniert: Nun, was wir mit solchen erweiterten Dynkin-Diagrammen tun, ist das Aufschreiben der Winkel- und Längenbeziehungen zwischen einigen Wurzeln. Sobald das resultierende Diagramm eine Vereinigung von Standard-Dynkin-Diagrammen (nicht erweitert) ist, wissen wir durch die Klassifizierung, dass die Wurzeln, aus denen die Eckpunkte bestehen, ein Wurzelsystem des jeweiligen Typs erzeugen. In beiden Fällen bleibt ein klassisches Dynkin-Diagramm übrig, wenn wir zuerst das Dynkin-Diagramm mit dem negativsten (kurz) Wurzelscheitelpunkt erweitern und dann einen anderen Scheitelpunkt entfernen. Dies bedeutet, dass die Wurzeln, die den verbleibenden Eckpunkten entsprechen (alle bis auf einen von der ursprünglichen Basis, einer der negativen der höchsten (kurzen) Wurzel), ein solches klassisches Wurzelsystem erzeugen. Und es ist offensichtlich von vollem Rang und in unserem ursprünglichen Wurzelsystem enthalten.

---

In einem zweiten Schritt kann man die Prozedur wiederholen, bis alle Faktoren vom Typ sind $A$ (beachten Sie, dass $A_1 =B_1 =C_1$, $B_2=C_2$, $D_2 = A_1 \times A_1$ und $D_3 =A_3$). ZB innerhalb$F_4$ wir haben weiter $$A_1 \times C_3 \supset A_1\times A_1 \times \underbrace{C_2}_{=B_2} \supset A_1 \times A_1 \times \underbrace{A_1 \times A_1}_{C_1 \times C_1}$$ ebenso gut wie $$B_4 \supset D_4 \qquad ( \supset \underbrace{A_1 \times A_1}_{D_2} \times \underbrace{A_1 \times A_1}_{D_2})$$ und auch $$C_4 \supset C_2 \times C_2.$$

Beachten Sie, dass die einzigen Root-Systeme von Rang $n$ die keine enthalten $n$-Faltprodukt von $A_1$ (dh $n$ zueinander orthogonale Wurzeln) sind $A_{n\ge 2}$, $D_{ n \text{ odd}}$ und $E_6$, was bekannten Ergebnissen über entspricht $-id$ in der Weyl-Gruppe sein oder nicht.

Dies entspricht etwas den (weitaus ausführlicheren) Tabellen am Ende von RW Carter: Konjugationsklassen in der Weyl-Gruppe (Comp. Math. 25 Nr. 1 (1972) S. 1-59) , obwohl in diesen Tabellen unter das "$\Gamma$"Für die außergewöhnlichen Root-Systeme werden nur die Subsysteme aus meinem ersten Ansatz aufgelistet. Ich bin sicher, dass es in diesem Dokument einen Grund dafür gibt.

Schließlich sollte es einfach sein, den nicht reduzierten und den reduzierbaren Fall von hier aus einzubeziehen.