Werfen Ellipsoide ellipsoide Schatten?

Question

Gegeben ist ein n-dimensionales Ellipsoid in $\mathbb{R}^n$Ist eine orthogonale Projektion davon auf einen Unterraum auch ein Ellipsoid? Hier ist ein Ellipsoid definiert als

$$\Delta_{A, c}=\{x\in \Bbb R^n\,:\, x^TAx\le c\}$$

wo $A$ ist eine symmetrische positive definitive n mal n Matrix und $c > 0$.

Ich denke nur darüber nach, weil es eine schöne visuelle Möglichkeit gibt, über die Regression der geringsten Norm nachzudenken.

Ich stelle fest, dass SVD sofort beweist, dass jedes lineare Bild (nicht nur eine orthogonale Projektion) eines Ellipsoids auch ein Ellipsoid ist. Es kann jedoch einen geometrisch klügeren Beweis geben, wenn die lineare Karte eine orthogonale Projektion ist.

Answer 1

Ja, das tun sie. Sie können dies durch Induktion der Codimension des Unterraums beweisen, in den Sie projizieren. Zum$x\in Vect(e_1,\ldots e_{n-1})$ es gibt $t \in \mathbb{R}$ so dass $x+te_n$ gehört $\Delta$ wenn die Diskriminante des Grades $2$ Gleichung $(x+te_n)^TA(x+te_n)\leq c$ für das Unbekannte $t$ ist nicht negativ, was sich immer noch als quadratische Ungleichung in herausstellt $x$.

Answer 2

Ja. Ein Ellipsoid ist eine lineare Transformation einer sphärischen Kugel, und die orthogonale Projektion ist auch eine lineare Transformation. Es genügt also zu zeigen, dass jede lineare Transformation, deren Bild ein Unterraum ist, eine sphärische Kugel an ein Ellipsoid in diesem Raum sendet.

Eine lineare Transformation kann durch ihren Kernel in eine orthogonale Projektion zerlegt werden, gefolgt von einer invertierbaren linearen Transformation. Die orthogonale Projektion sendet eine sphärische Kugel an eine kugelförmige Kugel im Unterraum, also sind wir fertig.

Answer 3

In der Tat werfen Ellipsoide Schatten in Ellipsenform auf den Boden.

Der Schnittpunkt jeder Konikoid und einem ersten Grad Gleichung Ebene Beleuchtungs Terminators zwischen zwei tangentialen Punkten ist ein Kegelschnitt. Dies kann durch Eliminierung der konischen Gleichung zweiten Grades bewiesen werden.

Answer 4

Es gibt bereits gute Antworten, aber ich möchte die hinzufügen, die man auch folgendermaßen denken kann:

Die orthogonale Projektion definiert einen Unterraum $\langle e_1, e_2 \ldots e_n \rangle$und wir führen eine orthogonale Transformation durch $R^{T}$, so dass die Matrix $A$ verwandelt sich in $R^{T} A R$und in der gedrehten Basis die erste $n-1$Komponenten entsprechen diesem Unterraum. Nach der Rotation Matrix$A$ bewahrt seine positive Bestimmtheit und die Beschränkung auf die $(n-1) \times (n-1)$wird durch die Kritik des Sylvesters definitiv positiv sein. Daher würde dieser Block ein Ellipsoid in einer Dimension niedriger definieren.