Wie heißt diese Menge?

Question

Gegeben zwei Vektoren $X$ und $Y$ (Länge $n$, wie aus Zufallsvariablen entnommen), wie heißt die folgende Menge:

$$ \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2 $$

Ich habe mir die Formel ausgedacht, um die Varianz zwischen zwei Vektoren zu quantifizieren, und ich denke, dass die Formel entweder Unsinn ist oder, wenn nicht - aufgrund ihrer Trivialität - eine bekannte Größe. Ich weiß, es ist nicht die Kovarianz zwischen$X$ und $Y$, aber was ist es stattdessen?

Bearbeiten: offensichtlich im Zusammenhang mit Vorhersagen mit zB Daten $X$ und Vorhersage $Y$Dies würde dem mittleren quadratischen Fehler entsprechen (mit Ausnahme der Normalisierungskonstante, die wäre $\frac{1}{n}$). Ich frage mich jedoch, ob es im Kontext der Statistik einen Namen (und eine Bedeutung) hat. siehe Kommentar von Stephan Kolassa

Answer 1

Dies ist ein Maß für die quadratische Streuung zwischen zwei Wertesätzen, jedoch nicht zwischen gepaarten Werten. Ich bezweifle, dass es einen Namen hat.

In der Tat müssen Sie nicht die gleiche Anzahl von haben $x$ und $y$ Werte und unter Verwendung der $\frac1n$ Varianzberechnung kann man sagen:

$$\frac{1}{mn}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2\qquad \\\qquad\qquad= (\bar x - \bar y)^2 + \widehat{\text{Var}}(x) +\widehat{\text{Var}}(y)$$

also eine Kombination aus dem quadratischen Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Sätze plus den quadratischen Dispersionen der einzelnen Sätze.