Zählproblem: Aktentaschen

Question

Angenommen, Sie und ein Freund erhalten neun identisch aussehende Aktentaschen, von denen drei 100 US-Dollar enthalten, während der Rest leer ist. Sie wählen abwechselnd Aktentaschen aus (wobei die erste Person 5 und die zweite 4 wählt), und erst am Ende werden die Aktentaschen geöffnet. Ich habe 1-4 Teile dieser HW-Fragen bearbeitet, bin mir aber nicht sicher, wie ich die letzten machen soll:

1. Wenn Sie zuerst gehen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie in Ihrer ersten Runde eine leere Aktentasche auswählen?
2. Angenommen, Sie haben zuerst eine leere Aktentasche ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ihr Freund in seiner ersten Runde auch eine leere Aktentasche auswählt, vorausgesetzt, Sie haben in Ihrer ersten Runde auch eine leere ausgewählt.
3. Angenommen, Sie haben zuerst eine Aktentasche mit 100 Dollar ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ihr Freund in der ersten Runde eine leere Aktentasche auswählt, da Sie in der ersten Runde auch eine mit 100 Dollar ausgewählt haben?
4. Wenn das Spiel endet, nachdem jede Person nur einen Durchgang hat, zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Aktentasche mit 100 Dollar wählen, gleich ist, unabhängig davon, ob Sie beginnen oder nicht.
5. Wenn das Spiel enden würde, sobald jede Aktentasche ausgewählt wurde, wäre es besser, zu beginnen oder Zweiter zu werden?

EDIT: Ziel des Spiels ist es , so wenig Geld wie möglich zu verdienen, da "Glücksspiel schlecht ist".

---

Mein Versuch:

1. Die Antwort ist das Nein. Sie können eine leere Aktentasche auswählen, die durch die Nr. geteilt wird. Sie können eine Aktentasche auswählen. Dies ist 6C1 (da es 6 leere Aktentaschen gibt) geteilt durch 9C1, was 2/3 entspricht.

2. Ich glaube, die Antwort darauf ist 2/3 (aus Teil 1) multipliziert mit 5C1 (da jetzt 5 leere Aktentaschen übrig sind und der Freund eine davon auswählt) geteilt durch 8C1 (da jetzt nur noch 8 Fälle zur Auswahl stehen ). Dies ist ca. 0,4167.

3. Ich glaube, dies ist $ \ frac {3C1} {9C1} \ cdot \ frac {6C1} {8C1} $, da die erste Person eine der drei Geldtaschen aus insgesamt 9 auswählen muss, während die zweite Person eine auswählen muss von den 6 leeren Aktentaschen aus den 8 verbleibenden. Dies ist 0,25.

4. Die Art und Weise, wie ich das angehen wollte, bestand darin, vier verschiedene Ereignisse zu betrachten, bei denen:

   • Ereignis A: Sie gehen zuerst und erhalten 100 Dollar, dann wählt Freund leer.
   • Event B: Du gehst zuerst und bekommst 100 Dollar, dann bekommt ein Freund auch 100 Dollar.
   • Ereignis C: Ihr Freund geht zuerst und bekommt 100 Dollar, dann bekommen Sie auch 100 Dollar.
   • Ereignis D: Ihr Freund geht zuerst und wählt leer, dann erhalten Sie 100 Dollar.

   Wenn Sie zuerst gehen, ist die Wahrscheinlichkeit, 100 Dollar zu erhalten, die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A plus die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B. Wenn Sie an zweiter Stelle gehen, ist es die Wahrscheinlichkeit von Ereignis C plus die Wahrscheinlichkeit von Ereignis D. Beide Ausdrücke sind $ \ frac {3C1 \ cdot 6C1} {9C1 \ cdot 8C1} + \ frac {3C1 \ cdot 2C1} {9C1 \ cdot 8C1} $, was 1/3 ist.

5. In diesem Teil bin ich verwirrt darüber, wie ich vorgehen soll, da es viele verschiedene Sequenzen gibt, in denen möglicherweise 6 leere Aktentaschen und 3 mit 100 Dollar ausgewählt werden können.

Jeder Rat wäre sehr dankbar.

Answer 1

Wenn Sie zuerst gehen, folgt die Anzahl der "Geld" -Koffer, die Sie erhalten, einer hypergeometrischen Verteilung , da Ihre fünf Koffer ersatzlos aus einer Population von gezogen werden$3$ "Geld" Koffer und $6$ leere.

$$P(X=k) = \begin{cases} \frac{\binom{3}{0} \binom{6}{5}}{\binom{9}{5}} = \frac{6}{\binom{9}{5}} & k=0 \\ \frac{\binom{3}{1} \binom{6}{4}}{\binom{9}{5}} = \frac{45}{\binom{9}{5}} & k = 1 \\ \frac{\binom{3}{2} \binom{6}{3}}{\binom{9}{5}} = \frac{60}{\binom{9}{5}} & k = 2 \\ \frac{\binom{3}{3} \binom{6}{2}}{\binom{9}{5}} = \frac{15}{\binom{9}{5}} & k = 3 \end{cases}$$

Wenn Sie Zweiter werden, sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in umgekehrter Reihenfolge. Sie können sehen, dass der Spieler, der zuerst geht, dazu neigt, mehr Geldkoffer zu bekommen.

Answer 2

Ihre Antwort in # 2 ist falsch.

Angenommen, Sie haben zuerst eine leere Aktentasche ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ihr Freund in seiner ersten Runde auch eine leere Aktentasche auswählt, vorausgesetzt, Sie haben in Ihrer ersten Runde auch eine leere ausgewählt.

Sie müssen davon ausgehen, dass Sie bereits zuerst eine leere Aktentasche ausgewählt haben. Dies bedeutet, dass noch 8 Aktentaschen übrig sind, von denen nur noch 5 leer sind.

Antwort ist

$$\frac{5}{8}.$$

Aus dem gleichen Grund wie oben lautet die Antwort auf # 3

$$\frac{6}{8}.$$

# 4 ist schwierig und kann auf zwei verschiedene Arten angegriffen werden.

Der Fußgängeransatz ist das

• Ihre Chance auf Aktentasche mit Geld, wenn Sie zuerst gehen, ist $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

• Wenn Sie Zweiter werden, gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder hat Ihr Freund eine leere Aktentasche ausgewählt, und dann haben Sie eine mit Geld ausgewählt, oder Ihr Freund hat eine Aktentasche mit Geld ausgewählt, und dann haben Sie auch eine mit Geld ausgewählt.

  Die kombinierten Wahrscheinlichkeiten hier sind $\left(\frac{6}{9} \times \frac{3}{8}\right) ~+~ \left(\frac{3}{9} \times \frac{2}{8}\right) ~=~ \frac{24}{72} = \frac{1}{3}.$

Die elegantere Analyse besteht darin, zu begründen, dass das Auswählen einer Aktentasche mathematisch der zufälligen Übergabe einer Aktentasche entspricht. Wenn ein Moderator zwei Aktentaschen nach dem Zufallsprinzip auswählt, eine für Sie und eine für Ihren Freund, wird die Wahrscheinlichkeit, dass Ihre Aktentasche Geld enthält, nicht davon beeinflusst, ob der Moderator Ihnen Ihre Aktentasche gibt, bevor oder nachdem der Moderator Ihrem Freund seine Aktentasche gibt.

Bearbeiten habe
ich falsch interpretiert

Wenn das Spiel enden würde, sobald jede Aktentasche ausgewählt wurde, wäre es besser, zu beginnen oder Zweiter zu werden?

Wenn Sie zuerst gehen, erhalten Sie 5 Aktentaschen und Ihr Freund erhält nur 4 Aktentaschen. Dies entspricht dem Vorgeben, dass 10 statt 9 Aktentaschen vorhanden sind und die 10. Aktentasche leer sein muss.

Wenn Sie also zuerst gehen, haben Sie 5 Aktentaschen, von denen jede Geld haben kann. Wenn Sie Zweiter werden, muss eine Ihrer Aktentaschen (die imaginäre 10. Aktentasche) leer sein.

Daher kann die Person, die Zweiter wird, damit rechnen, weniger Geld zu bekommen.