Zeige, dass $\det(A) = 0$ oder $\mathrm{tr}(A)=0$

Question

Lassen $A$ und $B$ sind zwei Matrizen in $\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R})$ mit $B\neq0$ und $AB=-BA$. Zeigen Sie das auch$\mathrm{tr}(A) = 0$ oder $\det(A)=0$.

Ich stecke fest, da die Reihenfolge 2 ist. Ein paar Versuche sind

1. Aus der Hypothese implizieren wir das $\mathrm{tr}(AB) = 0$also $(AB)^2=(\det AB)(AB)$. Nehmen$\det$ von beiden Seiten bekommen wir $\det AB = 0$ oder $\det AB = 1$. was zu nichts führt.

2. Annehmen $\det A \neq 0$, dann multiplizieren Sie beide nebeneinander $A^{-1}$ links haben wir $B=A^{-1}(-B)A$. Dies impliziert das$\mathrm{tr}B= 0$. Aber ich stecke danach immer noch fest.

Danke im Voraus!

Answer 1

ERSTER BEWEIS :

Du hast $AB=-BA$ also multiplizieren mit $A$ auf der linken Seite erhalten Sie $A^2B = -ABA = BA^2$.

Nach dem Cayley-Hamilton-Theorem wissen Sie das $$A^2- \mathrm{Tr}(A) A + \mathrm{det}(A) I = 0 \quad \quad (1)$$

Multiplizieren mit $B$ auf der rechten Seite bekommen Sie $$A^2B- \mathrm{Tr}(A) AB + \mathrm{det}(A) B = 0, \quad \text{ i.e.} \quad BA^2+ \mathrm{Tr}(A) BA + \mathrm{det}(A) B = 0 \quad \quad (2)$$

Und multiplizieren $(1)$ durch $B$ auf der linken Seite erhalten Sie $$BA^2- \mathrm{Tr}(A) BA + \mathrm{det}(A) B = 0 \quad \quad (3)$$

Jetzt $(2)-(3)$ gibt Ihnen $$\mathrm{Tr}(A)BA=0$$

Wenn $\mathrm{Tr}(A)=0$, du bist fertig. Andernfalls,$BA=0$, also die Gleichung $(3)$ gibt Ihnen $\mathrm{det}(A)B=0$, und weil $B \neq 0$, schlussfolgern Sie $\mathrm{det}(A)=0$. $$$$

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ZWEITER BEWEIS : Hier ist ein anderer Weg, um die Frage zu lösen. Wir nehmen an, dass $ \ mathrm {det} (A) \ neq 0 $ ist , und wir werden beweisen, dass $ \ mathrm {Tr} (A) = 0 $ .

Lassen Sie uns $ A $ in $ \ mathbb {C} $ trigonalisieren . Es gibt eine Basis $ \ lbrace x, y \ rbrace $ und drei komplexe Zahlen $ \ lambda, \ mu, \ nu $, so dass $$ Ax = \ lambda x \ quad \ quad \ text {und} \ quad Ay = \ mu y + \ nu x $$ (beachten Sie, dass $ \ lambda $ und $ \ mu $ die Eigenwerte von $ A $ sind und nicht Null sind, weil $ \ mathrm {det} (A) \ neq 0 $ ) .

Wenden Sie nun $ B $ auf die erste Gleichung an: Sie erhalten $$ BAx = \ lambda Bx \ quad \ quad \ text {so} \ quad A (Bx) = - \ lambda (Bx) $$ If $ Bx \ neq 0 $ , dann muss $ - \ lambda $ ein Eigenwert von $ A $ sein , und weil $ \ lambda \ neq 0 $ , bedeutet dies, dass $ \ lambda $ und $ - \ lambda $ die beiden getrennten Eigenwerte von $ A $ sind . Also $ \ mathrm {Tr} (A) = 0 $ .

Wenn im Gegenteil $ Bx = 0 $ ist , müssen Sie $ By \ neq 0 $ haben, weil $ B \ neq 0 $ . Das Anwenden von $ B $ auf die zweite Gleichung ergibt $$ BAy = \ mu By + 0 \ quad \ quad \ text {so} \ quad A (By) = - \ mu (By) $$ also wieder $ \ mu $ und $ - \ mu $ sind die beiden einzigen Eigenwerte von $ A $ und $ \ mathrm {Tr} (A) = 0 $ .

Answer 2

Nun, ich finde eine andere Antwort auf diese Frage, die vielleicht für zukünftige Leser hilfreich ist.

Wenn wir definieren $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ und lass $M$ sei die Matrix von $T$, wo $T$ ist eine lineare Transformation definiert durch $$T:\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R}), T(X)=AX+XA.$$ Dann können wir das herausfinden $$ M= \begin{pmatrix} 2a&c&b&0\\b&a+d&0&b\\c&0&a+d&c\\0&c&b&2d \end{pmatrix}. $$ Darüber hinaus ist die Hypothese jetzt äquivalent zu $T(B)=0$ , wo $B\neq0$, was genau dann passiert, wenn $\det M = 0$.

In der anderen Hand haben wir $\det M =4(a+d)^2(ad-bc)$also $\det M = 0$ wenn auch nicht $\mathrm{tr}(A)=a+d=0$ oder $\det A = ad-bc=0$.