Zeige, dass $V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U$ wo $V_\lambda$ ist das Specht-Modul und $U$ ist die Zeichendarstellung von $S_n$.

Question

Dies ist Übung 4.4 (c) in der Fulton / Harris-Darstellungstheorie. Die meisten Definitionen finden Sie hier:https://en.wikipedia.org/wiki/Young_symmetrizer. Lassen$\lambda \vdash n$. Das Specht-Modul$V_\lambda$ ist die irreduzible Darstellung von $S_n$ über das Bild definiert $\mathbb{C}[S_n]c_\lambda$ von $c_\lambda$ ist $\mathbb{C}[S_n]$ wo $c_\lambda$ist der Young-Symmetrizer. Das möchte ich zeigen$$ V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U $$ wo $U$ ist die Zeichendarstellung und $\lambda'$ ist die Partition von $n$ konjugieren mit $\lambda$. Als Submodul der Gruppenalgebra$\mathbb{C}[S_n]$, wir haben $U = \mathbb{C} \sum_{\pi \in S_n} sgn(\pi) \pi$.

Kann mir jemand helfen, das zu zeigen? Ich muss ein definieren$\mathbb{C}[S_n]$Modulisomorphismus, aber ich verstehe nicht wirklich, wie die Elemente des Specht-Moduls aussehen. Ich habe einen Beweis mit Polytabloiden gesehen, z. B. in James, aber ich versuche stattdessen, die Konstruktion der Specht-Module als Submodule der Gruppenalgebra zu verstehen.

Answer 1

Lassen $\Phi:\mathbb{C}[S_n]\rightarrow \mathbb{C}[S_n]$ sei die lineare Karte, die eine Permutation sendet $\sigma$ zu ${\rm sgn}(\sigma)\ \sigma$. Es ist ein Algebra-Automorphismus von$\mathbb{C}[S_n]$ welches das Specht-Modul für abbildet $\lambda$ dazu für die transponieren $\lambda'$. Hinweis: Ist das Karte$S_n$-äquivariante? Wenn nicht, wie können Sie das korrigieren?

Answer 2

Definieren Sie zunächst den Hinweis von Abdelmalek Abdesselam $\Phi:\mathbb{C}[S_n] \to \mathbb{C}[S_n]$ über $\sigma \mapsto \text{sgn}(\sigma)\sigma$und lineare Ausdehnung. Es ist ein Algebra-Automorphismus, der abgebildet wird$V_\lambda \to V_{\lambda'}$. Für alle$\pi,\sigma \in S_n$, wir haben \begin{align*}\Phi(\pi\sigma) & = \text{sgn}(\pi) \pi \text{sgn}(\sigma) \sigma\\ & = \text{sgn}(\pi)\Phi(\sigma). \end{align*}

Definieren Sie nun eine Karte $\rho:V_\lambda \otimes U \to V_{\lambda'}$ über $\tau c_\lambda \otimes u \mapsto \Phi(\tau c_\lambda)u$und lineare Ausdehnung. Die Codomäne ist seitdem korrekt$\Phi(\tau c_\lambda) \in V_{\lambda'}$. Diese Karte ist$S_n$-äquivariante da für jeden $\pi,\tau \in S_n$ und $u\in U$wir haben \ begin {align *} \ rho (\ pi (\ tau c_ \ lambda \ otimes u)) & = \ rho (\ pi \ tau c_ \ lambda \ otimes \ pi u) & (\ text {def. of$S_n$-Aktion auf das innere Tensorprodukt}) \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ pi u \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {seit $U$ ist die Zeichendarstellung}) \\ & = \ text {sgn} (\ pi) \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {def. von $\Phi$}) \\ & = \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) u \\ & = \ pi \ rho (\ tau c_ \ lambda \ otimes u). \ end {align *}