Zeigen Sie die Riemannsche Integrierbarkeit einer Wechselfunktion

Question

Ich betrachte die folgende Funktion:

$$f(x) = \cases{ \frac{(-1)^p}{\sqrt{q}} \ \ \ \ \text{if } x = \frac{p}{q} \text{ with } \gcd(p,q)=1 \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{if} x \text{ irrational} }$$

Ich muss zeigen, ob die Funktion Riemann-integrierbar ist, und wenn es RI ist, muss ich das Ergebnis im Intervall berechnen $[0,1]$. Mit anderen Worten, ich muss rechnen$$\int_0^1 f(x) \ \text{d}x$$

Ich habe versucht, die untere und die obere Summe zu finden. Zuerst dachte ich, dass die niedrigere Summe gleich ist$0$, aber das ist nicht wahr seit wenn $m$ ist ungerade, $f(x)$wird negativ sein. Also habe ich versucht, eine Präparation zu machen, die ich wie folgt gemacht habe:$$D = \{y_0, y_0+\delta, y_1 - \delta, y_1 + \delta, \dots, y_j-\delta, y_j \}$$Dies scheint jedoch nicht so gut zu funktionieren, da ich die obere und untere Summe nicht angeben kann. Ich kann nur Ober- und Untergrenzen von angeben$U$ und $L$(obere bzw. untere Summe). Das Integral wird wahrscheinlich sein$0$. Ich habe auch versucht, eine zu finden$\epsilon$ wo gibt es endlich $f(x)$über. Aber auch das funktioniert nicht.

Kann mir bitte jemand sagen, wie ich das machen kann? Da stecke ich gerade schon lange fest.

Answer 1

Gegeben $\epsilon > 0$Nehmen Sie eine positive ganze Zahl $N > 16/\epsilon^2$ und lass $m$ sei die Anzahl der Elemente in der Menge $$A_N = \left\{ \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}\cap [0,1]: (p,q) = 1, \,\,\,\ 1\leqslant q \leqslant N\right\}$$

Wir haben $|f(x)| \leqslant 1$ für alle $x \in [0,1]$ und $\frac{-1}{\sqrt{N}} < f(x) < \frac{1}{\sqrt{N}}$ zum $x \in [0,1] \setminus A_N$.

Lassen $P= (x_0,x_1, \ldots, x_n)$ eine Partition von sein $[0,1]$ mit $\|P\| < \frac{\epsilon}{8m}$ und $M_j = \sup \{f(x) : x \in [x_{j-1}, x_j]\}$. Die obere Darboux-Summe ist

$$U(P,f) = \sum_{A_N \cap [x_{j-1},x_j] \neq \phi} M_j(x_j - x_{j-1})+ \sum_{A_N \cap [x_{j-1},x_j] = \phi} M_j(x_j - x_{j-1})$$

Das $m$ Elemente des Sets $A_N$ sind höchstens in enthalten $2m$Teilintervalle. Daher gibt es höchstens$2m$ Begriffe in der ersten Summe wo $M_j \leqslant 1$ und $(x_j - x_{j-1})< \frac{\epsilon}{8m}$, und wir haben

$$\sum_{A_N \cap [x_{j-1},x_j] \neq \phi} M_j(x_j - x_{j-1}) < 2m \cdot 1 \cdot \frac{\epsilon}{8m} = \frac{\epsilon}{4}$$

In der zweiten Summe haben wir $M_j \leqslant \frac{1}{\sqrt{N}}$ da nur subintervalle wo $[x_{j-1},x_j] \cap A_N = \phi$ beitragen, und

$$\sum_{A_N \cap [x_{j-1},x_j]= \phi} M_j(x_j - x_{j-1}) \leqslant \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{A_N \cap [x_{j-1},x_j]= \phi} (x_j - x_{j-1})< \sqrt{\frac{\epsilon^2}{16}}\cdot 1 = \frac{\epsilon}{4}$$

So, $U(P,f) < \frac{\epsilon}{2}$ für die gewählte Partition $P$. Da jedes Subintervall einen irrationalen Punkt enthalten muss wo$f(x) = 0$ wir müssen auch haben $0 \leqslant U(P,f) < \frac{\epsilon}{2}$.

In ähnlicher Weise kann gezeigt werden, dass $-\frac{\epsilon}{2} \leqslant L(P,f) \leqslant 0$. Deshalb,$f$ ist Riemann nach dem Riemann-Kriterium integrierbar, da für jeden $\epsilon > 0$ Es gibt eine solche Partition, dass $U(P,f) - L(P,f) < \epsilon$.

Schon seit $L(P,f) \leqslant 0 \leqslant U(P,f)$ Für jede Partition ist klar, dass das Integral sein muss $0$.