Zeigen Sie mit Chebyshevs Ungleichung $P(X \geq 2\lambda) \leq \frac{1}{\lambda}$

Question

Lassen $X \sim \mathsf{Poisson}(\lambda),$ Show $P(X \ge 2\lambda) \le \frac{1}{\lambda}$.

Ich verstehe das nicht ganz, Chebyshevs Ungleichung hat den absoluten Wert, mit dem ich angefangen habe:

$P(|X - \lambda| \geq 2\lambda) \leq \frac{ \lambda}{ 4\lambda^{2}}$aber ich bin mir nicht sicher, wohin ich von hier aus gehen soll. Muss ich das Innere erweitern und das Absolutwertzeichen entfernen?

Answer 1

Hinweis: $$P(X \ge 2\lambda) = P(X - \lambda \ge \lambda) \le P(|X-\lambda| \ge \lambda)$$ (Um die Ungleichung zu rechtfertigen, beachten Sie Folgendes $X-\lambda \ge \lambda$ impliziert $|X-\lambda| \ge \lambda$.) Wenden Sie dann Chebychevs Ungleichung auf die rechte Seite an.