Zwei Versionen des Spektralsatzes?
Ich studiere den Spektralsatz (für begrenzte selbstadjunkte Operatoren) selbst und folge Nik Weavers schönem Buch. Lassen Sie mich zunächst einige Notationen einführen.
Notationen: Wenn$\mathcal{H}$ ist ein Hilbert-Raum, $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ ist der (Banachraum) aller begrenzten linearen Operatoren $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$. Wenn$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $\mbox{sp}(A)$ ist das Spektrum von $A$.
Nun lass $(X, \mathcal{F},\mu)$ sei ein $\sigma$-finite messen Raum. Ein messbares Hilbert-Bündel vorbei$X$ ist eine disjunkte Vereinigung: $$\mathcal{X} = \bigcup_{n\in \mathbb{N}}(X_{n}\times \mathcal{H}_{n}) $$ wo $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ ist eine messbare Partition von $X$ und für jeden $0 \le n \le \infty$, $\mathcal{H}_{n}$ ist ein Hilbert-Raum mit Dimension $n$.
Schließlich, $f: X \to \mathcal{H}$ ist schwach messbar, wenn die Funktion $x \mapsto \langle f(x),v\rangle$ ist für jeden messbar $v \in \mathcal{H}$. Wir bezeichnen$L^{2}(X;\mathcal{H})$ die Menge aller schwach messbaren Funktionen $f: X \to \mathcal{H}$ so dass: $$||f|| := \int_{x}||f(x)||^{2}d\mu(x) < +\infty $$Modulo-Funktionen, die fast überall Null sind. Dies ist ein Hibert-Raum mit innerem Produkt:$$\langle f,g\rangle := \int_{x}\langle f(x),g(x)\rangle d\mu(x) $$ Wenn $f \in L^{2}(X;\mathcal{H})$, $M_{f}$ ist die Operatormultiplikation mit $f$. Ebenfalls,$L^{2}(X;\mathcal{X}) := \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}L^{2}(\mathcal{X}_{n};\mathcal{H}_{n})$.
Die Aussage des Spektralsatzes in dieser Referenz lautet nun wie folgt.
Satz: Lass$\mathcal{B}(\mathcal{H})$selbstbestimmt sein. Dann gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß$\mu$ auf $\mbox{sp}(A)$, ein messbares Hilbert-Bündel $\mathcal{X}$ Über $\mbox{sp}(A)$ und ein isometrischer Isomorphismus $U: L^{2}(\mbox{sp}(A);\mathcal{X}) \to \mathcal{H}$ so dass $A = UM_{x}U^{-1}$.
Ich interessiere mich jedoch mehr für eine andere Version dieses Theorems, die in Dimocks Buch angegeben ist und wie folgt aussieht (mit angepasster Notation).
Satz: Lass$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$selbstbestimmt sein. Dann existiert ein Messraum$(\mathcal{M},\mathcal{\Omega},\mu)$, eine begrenzte messbare Funktion $\tau: \mathcal{M}\to \mathbb{R}$ und ein einheitlicher Operator $U: \mathcal{H}\to L^{2}(\mathcal{M},\mu)$ so dass $A = UM_{\tau}U^{-1}$.
Frage: Wie kann ich Dimocks Version des Spektralsatzes aus Weavers Version erhalten?
Antworten
Lassen $\mathcal{M}$ sei eine disjunkte Vereinigung bestehend aus $n$ Kopien von $X_n$ für jeden $n$. Die gegebene Maßnahme auf$\mbox{sp}(A)$ beschränkt sich auf eine Maßnahme am $X_n$ und induziert so eine Maßnahme auf $\mathcal{M}$. Es gibt dann einen Isomorphismus$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$: wenn Sie für jede eine orthonormale Basis auswählen $\mathcal{H}_n$, dann $L^2(X_n;\mathcal{H}_n)$ ist nur eine direkte Summe von $n$ Kopien von $L^2(X_n)$und wenn Sie die direkte Summe davon über alles nehmen $n$ du kriegst $L^2(\mathcal{M})$. Dieser Isomorphismus$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$ dreht die Multiplikation mit $x$ auf $\mbox{sp}(A)$ zur Multiplikation mit der Funktion $\tau$ auf $\mathcal{M}$ was durch die Einschlussfunktion gegeben ist $X_n\to\mathbb{R}$ auf jeder Kopie von jedem $X_n$.
(Alternativ, ohne die Version von Weaver direkt zu verwenden, verwendet die Version von Dimock den gleichen Beweis wie Weaver, verwendet jedoch seinen Satz 3.4.2 anstelle von Korollar 3.4.3. Weaver selbst kommentiert dies (da dies im nicht trennbaren Fall als gilt gut) oben auf Seite 62.)