Zweifel an ParametricPlot3D, RevolutionPlot3D, ListPlots und NIntegrate: Kann ich ein „RevolutionListPlot3D“ erstellen?

Question

Zuallererst: Diese Frage liegt im Kontext von Oberflächen und Einbettungen zur Differentialgeometrie. Genauer gesagt im Zusammenhang mit Kruskal-Koordinaten und der Darstellung eines dynamischen 3D-Schwarzschild-Wurmlochs$[1]$, $[2]$, $[3]$. Der Hauptkontext wird unter Bezugnahme angegeben$[1]$.

TEIL I) Einige Physik und Mathematik

I.1) Ein "Nichts" über Schwerkraft und schwarze Löcher

Schwarze Löcher sind Lösungen von Einstein-Feldgleichungen. Genauer gesagt haben wir dann die Master- (Tensor-) Gleichung:

$$\textbf{Ric} - \frac{1}{2}R\textbf{g} = \frac{8\pi G}{c^{4}} \textbf{T} \tag{1}$$

Die Lösungen der Gleichung $(1)$ sind durch die metrischen Tensoren gegeben:

$$\textbf{g} = g_{\mu\nu} \textbf{dx}^{\mu} \otimes \textbf{dx}^{\nu} \tag{2}$$

In einem Koordinatendiagramm (auch bekannt als wo wir Berechnungen durchführen) können wir die als Linienelement bezeichnete Skalargröße ausdrücken, die genau das Skalarfeld ist, wenn der metrische Tensor auf Tangentenvektorfelder auf einer Mannigfaltigkeit einwirkt$\mathcal{M}$::

$$\textbf{g}(d\textbf{r},d\textbf{r}) = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} := ds^2\tag{3}$$

Daher charakterisieren wir bei einem metrischen Tensor auf einem Verteiler die Geometrie des Verteilers punktuell.

Eine wichtige Tatsache bei Tensoren ist die sogenannte allgemeine Kovarianz : Die Physik ist unabhängig von Koordinaten; Die Naturphänomene kümmern sich nicht um Koordinaten. Die Gleichungen der Physik müssen unabhängig von den Koordinaten sein. Die Naturfenster können unter Verwendung eines kartesischen Koordinatensystems gut beschrieben werden, und ebenso gut durch jedes krummlinige Koordinatensystem. Das mathematische Objekt, das diese Tatsache erfasst, sind Tensoren.

Daher ist das abstrakte Objekt (metrischer Tensor) unabhängig von Koordinatentransformationen:

$$ \textbf{g'} = \textbf{g} \tag{4}$$

In einer Ebene von Koordinatendiagrammen ändern sich ihre Koordinaten jedoch in folgender Form:

$$ g'_{\mu\nu} = \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x'^{\mu}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\nu'}}g_{\alpha \beta}\tag{5}$$

Ein Schwarzschild Black Hole hat den folgenden metrischen Tensor:

$$ ds^{2} = -\Bigg(1- \frac{2GM}{c^{2}r}\Bigg)c^{2}dt^{2} + \frac{1}{1-\frac{2GM}{c^{2}r}}dr^{2} - r^{2}d\theta^{2} + r^{2}sin^{2}(\theta)d\phi^{2}\tag{6}$$

Das Koordinatendiagramm können wir hier gut sehen: die sphärischen Koordinaten erstrecken sich auf die Raumzeitphysik;

$$\mathrm{Coordinates} \implies (t,r,\theta,\phi) \tag{7}$$

Deshalb haben wir es mit einer vierdimensionalen Raumzeit zu tun $\mathcal{M}$.

I.2) Einbettungsverfahren des Schwarschild-Wurmlochs

Der grundlegende Kontext hier ist: Wir müssen diese vierdimensionale Raumzeit darstellen $(6)$in einem dreidimensionalen euklidischen Raum. Dann müssen wir eine Oberfläche in einen 3D-Raum einbetten.

Wir "unterdrücken" dann zwei Dimensionen, dh die Fixierung eines Momentes der Koordinatenzeit $t = T \in \mathbb{R}$ und einen Koordinatenwinkel $\theta = \frac{\pi}{2}$(Tatsächlich gibt uns dieser Winkel die Geometrie der "Äquatorialebene"). Deshalb sind die Differentiale Null:$dt^{2} = dT^{2} = 0 $, $d\theta^{2} = d\frac{\pi}{2}^{2} = 0 $ und dann wird die Metrik:

$$ ds^{2} = \frac{1}{1-\frac{2GM}{c^{2}r}}dr^{2} + r^{2}d\phi^{2}\tag{8}$$

Der nächste Schritt ist dann, dies zu "vergleichen" $2D$ metrischer Tensor mit dem zilindrischen metrischen Tensor:

$$ ds^{2} = dz^{2} + dr^{2} + r^{2}d\phi^{2} \equiv \Bigg[ 1+\Bigg(\frac{dz}{dr}\Bigg)^{2} \Bigg]dr^{2} + r^{2}d\phi^{2}\tag{9}$$

Dann sagen wir das:

$$\Bigg[ 1+\Bigg(\frac{dz}{dr}\Bigg)^{2} \Bigg]dr^{2} = \frac{1}{1-\frac{2GM}{c^{2}r}}dr^{2} \tag{10}$$

Was schließlich impliziert:

$$ \frac{dz}{dr} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}r}}} - 1 \tag{11}$$

Wir können diese Funktion integrieren und hier genau die Funktion des Interesses entdecken:

$$ z(r) = \pm\int^{r}_{r_{0}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^{2}r}}} - 1 dr \tag{11}$$

Gleichung integrieren $(11)$ und mit der Funktion $\mathrm{RevolutionPlot3D}$ Wir zeichnen die wurmlochartige Oberfläche

TEIL II) Mein Zweifel und was für ein Mathematica-Programm möchte ich schreiben

II.1) Das Kruskal Numerical Embbeding Integral

Es gibt viel zu besprechen, aber die physikalische Tatsache ist: Dieser Wurmlochhals ist nicht "zeitlich konstant". Ich meine, in Schwarzshild-Schwarzen Löchern schließt sich das Wurmloch sehr, nachdem sich das Schwarze Loch gebildet hat, und verwendet dann andere Koordinaten, die Kruskal-Szekeres-Koordinaten, wir können das "dynamische Wurmloch" im "Zeitablauf" darstellen, dh für jeden Wert der "Kruskal-Zeit" haben wir eine andere Oberfläche!

Die Koordinaten ändern sich dann für die Kruskal-Szekeres-Koordinaten:

$$\mathrm{Coordinates'} \implies (v,u,\theta,\phi) \tag{12}$$

Wo $v$werden die "Kruskal-Zeit" genannt. Es ist wichtig zu erwähnen, dass dieses Coodinat nicht die Zeit unserer Uhren ist, sondern tatsächlich ein Ereignis$t$ist nicht die Zeit unserer Uhren, sondern sie tragen eine zeitliche Signatur .

In diesem Koordinatendiagramm ist das Embbeding-Integral (z $(11)$ ) wird:

$$ z(u) = \pm\int_{0}^{u} \frac{dz}{du}du = \pm\int_{r(0)}^{r(u)} \frac{dz}{du}\frac{du}{dr}dr = \pm\int_{r(0)}^{r(u)} \sqrt{g_{rr} - 1} dr =$$

$$ = \pm\int_{r(0)}^{r(u)} \sqrt{\frac{2\Big( e^{\frac{r}{2}} -v_{0}^2 \Big)}{re^{\frac{r}{2}} - 2\Big( e^{\frac{r}{2}} -v_{0}^2 \Big)}} dr \tag{12}$$

Damit, $v_{0}$ sind die konstanten Kruskal-Zeiten, davon jeweils $v_{0}$ wir können ein Integral haben $u$! Auch die Funktionen$r(u)$ sind in der Tat:

$$ r(u,v) =: 2m \Biggr[1+\mathrm{LambertW}\Bigg(\frac{u^2-v^2}{e}\Bigg) \Biggr] \tag{13}$$

Die Verwendung der Funktion in diesem Problem $(13)$ ist genauer (z $m=1$ ),

$$ r(u) \equiv r(u,v_{0}) =: 2 \Biggr[1+\mathrm{LambertW}\Bigg(\frac{u^2-v_{0}^2}{e}\Bigg) \Biggr] \tag{14}$$

Daher ist das Integral $(12)$ wird schließlich:

$$ z(u) = \pm\int_{r(0) = 2 \Biggr[1+\mathrm{LambertW}\Bigg(\frac{-v_{0}^2}{e}\Bigg) \Biggr] }^{r(u)=2 \Biggr[1+\mathrm{LambertW}\Bigg(\frac{u^2-v_{0}^2}{e}\Bigg) \Biggr]} \sqrt{\frac{2\Big( e^{\frac{r}{2}} -v_{0}^2 \Big)}{re^{\frac{r}{2}} - 2\Big( e^{\frac{r}{2}} -v_{0}^2 \Big)}} dr \tag{15}$$

Also MÜSSEN wir das Integral berechnen $(15)$, und das ist eine numerische Aufgabe. Kurz gesagt, wir berechnen (in gewisser Weise) das Integral$(15)$und dann zeichnen wir die 3D-Oberfläche:

$$ \textbf{X} = [r(u)cos(\phi), r(u)sin(\phi), z(u)] \tag{16}$$

II.2) Meine NIntegrate Berechnung des ListPlot

Ich habe also eine numerische Integration mit NIntegrate durchgeführt, kann sie aber einfach nicht als verwenden $z[u]$Funktion! Schau mal:

Manipulate[
 ListPlot[Table[
   NIntegrate[
    Sqrt[((2*(Exp[(r)/(2)] - ((v0)^2))    ))/(r*
         Exp[(r)/(2)] - ((2*(Exp[(r)/(2)] - ((v0)^2))    )))], {r, \
(2*(1)*(1 + ( 
          LambertW[((( 0^2  ) - (v0^2))/(Exp[
               1]))]   ))), (2*(1)*(1 + ( 
          LambertW[((( u^2  ) - (v0^2))/(Exp[1]))]   )))}], {u, 0, k, 
    1}], Joined -> True, InterpolationOrder -> 1, Mesh -> All], {k, 1,
   25}, {v0, -0.99999, 0.99999}]

Dieser Code berechnet das Integral tatsächlich numerisch, aber ich kann es nicht in der verwenden $\mathrm{ParametricPlot3D}$.

TEIL III) Einige bereits durchgeführte Einbettungen und Vorschläge

III.1) Mein älterer Code basiert auf Referenz $[4]$

In der Tat ein Benutzer $[4]$habe das Problem "gelöst". Ich habe seinen Code ein wenig angepasst:

r[u_, v0_] := 1 + LambertW[(u^2 - v0^2)/E];
z[u_, v0_] := 
  2 Sqrt[(1/
        r[u, v0] Exp[-r[u, v0]] - (u Exp[-r[u, v0]]/(r[u, v0]))^2)];

Z = ParametricNDSolveValue[{z'[u] == z[u, v0], z[0] == 0}, 
  z, {u, -1, 1}, {v0}]

Manipulate[
 ParametricPlot3D[{r[u, v0] Cos[phi], r[u, v0] Sin[phi], 
   Z[v0][u]}, {u, -1, 1}, {phi, 0, 2 Pi}, PlotTheme -> "Classic", 
  PlotRange -> {{-1.5, 1.5}, {-1.5, 1.5}, {-10, 10}}, 
  BoxRatios -> {2, 2, 2}], {v0, -0.99999999999999, 0.99999999999999}]

Aber er löst eine Differentialgleichung, ich möchte die Integralberechnung verwenden!

III.2) Hamilton's Dynamical Embbeding GIF

Dieser Typ Hamilton hat die höchste Handlung erreicht, die ich machen möchte, tatsächlich möchte ich seine dynamische Handlung reproduzieren, dh diese Frage von mir und alle meine Zweifel bestehen nur, um seine Handlung zu reproduzieren. Sie können sich den dynamischen Wurmlochhals wie folgt ansehen:

https://jila.colorado.edu/~ajsh/bh/schww_gif.html

III.3) Die Beratung meines Professors

Mein Professor sagte mir eine interessante mögliche Lösung:

Vielleicht können Sie versuchen, das numerische Integral für verschiedene Werte von zu lösen $u$und erhalten mehrere Punkte des Typs $(u, z)$, und dann können Sie zum Beispiel diese Punkte interpolieren, um eine glatte Funktion von zu erhalten $z = z (u)$, und verwenden Sie diese Funktion in der $\mathrm{ParametricPlot3D}$. Versuchen Sie zu sehen, ob es funktioniert.

Scheint richtig zu sein, aber ich weiß einfach nicht, wie man mehrere Punkte des Typs übersetzt$(u, z)$, und dann können Sie zum Beispiel diese Punkte interpolieren, um eine glatte Funktion von zu erhalten $z = z (u)$ in Mathematica-Code.

TEIL IV) Mein Zweifel

Meine numerische Integration in Abschnitt II.2 scheint also korrekt zu sein, daher ist es nur eine Tatsache, wie ich diese Kurve drehen kann. Aber so wie ich das Ganze geschrieben habe, kann ich das nicht benutzen$\mathrm{RevolutionPlot3D}$Mein Zweifel ist also:

Wie kann ich verwenden $\mathrm{RevolutionPlot3D}$ in meinem Code II.2 ?

$$ * * * $$

$[1]$ Einbettungen und zeitliche Entwicklung des Schwarzschild-Wurmlochs -https://arxiv.org/abs/1107.4871

$[2]$ Gravitation - Misner, Thorne, Wheeler Seiten 612 bis 615

$[3]$ Wurmlöcher in der Raumzeit und ihre Verwendung für interstellare Reisen: Ein Werkzeug zur Vermittlung der allgemeinen Relativitätstheorie -https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.15620

$[4]$ Wurmloch-Einbettungsdiagramm

Answer 1

Es gibt so lange Post, aber antworte sehr kurz. Im ersten Schritt definieren wir 3 Funktionen:

r0[u_?NumericQ, v0_?NumericQ] := 2 (1 + LambertW[(u^2 - v0^2)/E]);
z[u_?NumericQ, v0_?NumericQ] := 
 NIntegrate[
  Sqrt[2 (Exp[r/2] - v0^2)/(r*Exp[r/2] - 2*(Exp[r/2] - v0^2))], {r, 
   r0[0, v0], r0[u, v0]}, AccuracyGoal -> 2, PrecisionGoal -> 2]
wh[v0_?NumericQ] := 
 ParametricPlot3D[{r0[u, v0] Cos[phi], r0[u, v0] Sin[phi], 
   z[u, v0] Sign[u]}, {u, -1, 1}, {phi, 0, 2 Pi}, 
  SphericalRegion -> True, BoxRatios -> 1, FaceGrids -> None, 
  PlotStyle -> {Opacity[0.8]}, Boxed -> False, Axes -> False, 
  ImageSize -> Automatic, ViewPoint -> Front, Mesh -> None, 
  PlotLabel -> Row[{"\!\(\*SubscriptBox[\(v\), \(0\)]\) = ", v0 1.}]]

Und dann visualisieren wir das Wurmloch (es braucht Zeit):

Table[wh[x], {x, {-1 + 10^-5, -.5, 0., 
    1. - 10^-5 }}] // AbsoluteTiming