anillo semisimple implica módulo semisimple

Question

Estoy intentando resolver la parte b del problema a continuación.

Ya hice la parte a usando la proposición y solo quiero verificar si mi intento de b es correcto.

Dejar $M$ frijol $A$-módulo y como me sugiere el problema, dejo $\mathcal{C}$ ser la colección de todos los submódulos de $M$que es semisimple, parcial ordenado por inclusión. Sabemos que esta colección no está vacía ya que podemos elegir cualquier submódulo generado finitamente de$M$y usando la parte a. Cualquier cadena de esta colección también tiene un límite superior tomando la unión de la cadena. Por lo tanto, según el lema de Zorn, tenemos un submódulo$N$ máxima a la condición de ser semisimple, por lo que $N = \oplus_{i \in I} S_i $ dónde $S_i$ es un submódulo simple.

Si $N = M$, entonces hemos terminado. Si$N \neq M$, entonces podemos elegir $m \in M \backslash N$. Ya que$ Am $ se genera finitamente, por la parte a, tenemos que $Am = \oplus_{j \in J} U_j$ dónde $U_j$son simples. Ya que ambos$U_j$ y $S_i$ son simples, ya sea $U_j \cap S_i = 0$ o la $U_j$puede ser idéntico a algunos de los $S_i$, así que deshazte de los repetidos para obtener $J^* \subseteq J$.

Finalmente, $N \subsetneqq N + Am \subseteq N + (\oplus_{j \in J} U_j) = N \oplus (\oplus_{j \in J^*} U_j)$ que este último es semisimple, contradicen la maximalidad de $N$.

¿Es correcto mi argumento anterior? Gracias a todos.

Editar: corrección del comentario de Rschwieb

Como señaló Rschwieb, la suma podría no cruzarse trivialmente como pensé descuidadamente. Entonces comenzando de nuevo desde$Am = \oplus_{j \in J} U_j$ dónde $U_j$son simples. Ya que$m \notin N$ y todo el $U_j$son simples, existe un $U_{\alpha}$ tal que $U_{\alpha} \cap N = 0$.
Luego$N \subsetneqq N + U_{\alpha} = N \oplus U_{\alpha}$ y este último es semisimple, lo que contradice la maximalidad de $N$.

Answer 1

La mayoría tiene razón, pero la última línea no es válida: incluso si el $U_j$ intersecarse $N$trivialmente los sumandos, no hay razón para decir que su suma se cruza $N$trivialmente. Y el segundo hasta el último párrafo es un poco blando sobre la manipulación de sumandos.

Por ejemplo, $\{(x,x)\mid x\in F\}$ se cruza trivialmente $\{(0,x)\mid x\in F\}$ y $\{(x,0)\mid x\in F\}$, pero la suma de los dos últimos no cruza al primero trivialmente.

De todos modos, ese razonamiento extra ni siquiera es necesario si conoces el ejercicio básico de que los siguientes son equivalentes:

1. $M$ es una suma directa de módulos simples
2. $M$ es una suma de módulos simples

Debido a esto, puede concluir "entonces $N+Am$es una suma de módulos simples, por lo tanto, semisimple. Pero esto contradice la maximalidad de$N$. Por lo tanto$M=N$ en primer lugar."

Alternativamente, puede usar uno solo de$Am$submódulos para dibujar una contradicción, ya que es cierto que debe estar contenida en $N$ o intersecar $N$trivialmente. (Obviamente no todos$Am$Los factores pueden estar contenidos en $N$.

Pero su enfoque es correcto en gran parte.