Cómo comprobar la continuidad de esta función multivariable

Question

Esta es la función: $$f(x,y)=\begin{cases}{y+{1\over y}\arctan({x^2y})} & y\neq 0\\ 0 & y=0\end{cases}$$ Necesito estudiar su continuidad y me cuesta entender exactamente cómo formular rigurosamente mis hallazgos (porque no entiendo todo muy bien), así que me gustaría saber si mi razonamiento es correcto.

En primer lugar, lo que encontré fue que en $f(x,y)=(0,0)$ la función es continua en $(0,0)$ porque el límite de esta función para $(x,y)\to(0,0)$ es de hecho $0$.

En segundo lugar, la función no es continua en $f(x,y)=(x,0)$ Si $x$ no es cero porque el límite de f cuando $y\to 0 $ y $x$ es "fijo" es $1$.

¿Es este razonamiento correcto y completo?

Answer 1

Tienes razón en eso $f$ es continuo en $0$ aunque me gustaría mucho ver tu cálculo antes de confirmar que tu lógica es correcta.

Tenga en cuenta que el límite de $f$ a $(m,0)$ para $m\ne0$ encima $y>0$ es $m^2$no $1$. Esto es porque$$\lim_{(x,y)\to(m,0^+)}\left[y+\frac{\arctan(x^2y)}y\right]=\lim_{y\to 0^+}y+\lim_{(x,y)\to(m,0^+)}\left[\frac{\arctan(x^2y)}{x^2y}\right]\lim_{x\to m}x^2\\=0+1\cdot m^2\ne0$$que concluye que el límite no existe ya que es $0$ a lo largo $y=0$.

Answer 2

Tenemos eso para $x=0$

$$\lim_{y\to 0}\,\left(y+{1\over y}\arctan({0\cdot y})\right)=\lim_{y\to 0}\,y=0$$

y para $x =x_0\neq 0$

$$\lim_{y\to 0}\left(y+{1\over y}\arctan({x_0^2y})\right)=\lim_{y\to 0}\left(y+\frac{\arctan({x_0^2y})}{x^2y}x_0^2\right)=x_0^2$$

por tanto, la función no es continua.