¿Cómo usas realmente los campos?
Nota: Probablemente estoy usando las letras / notación incorrectas aquí. Me disculpo. yo suelo$\omega$ para representar un objeto, y $\mathcal{U}$es el universo. No estoy seguro de cómo hacerlo.$m(\omega)$ y $x(\omega)$ son la masa y la posición del objeto, respectivamente.
Me he topado con un obstáculo en mi comprensión de los campos. Es decir, me parece que hay un pequeño problema con ellos.
Tomemos, por ejemplo, el campo gravitacional $\mathbf{G}$. En cada punto$x$, multiplicándolo (en $\mathrm{N} \over \mathrm{kg}$) por la masa de un objeto da la fuerza que ese objeto experimentaría en ese punto ($F = \mathbf{G}_{x(\omega)} \cdot m(\omega)$). Ya que$\mathbf{G}_{x} = \sum_{\omega \in \mathcal{U}}G {m(\omega) \over {\left| x - x(\omega) \right|}^{2}}$, el valor en cualquier punto ocupado por un objeto $\omega_{1}$no está definido debido a la división por cero. Pero la fuerza experimentada por$\omega_{1}$ debiera ser $m(\omega_{1}) \cdot \mathbf{G}_{x(\omega_{1})}$!
Por supuesto, asumir objetos no puntuales resuelve esto. Pero los objetos más grandes están hechos de objetos puntiagudos. A menos que quiera usar la mecánica cuántica aquí, pero AFAIK, todavía no hay una teoría cuántica de la gravedad (?).
Pero, para el ejemplo de la gravedad, esto probablemente se resuelva mediante la relatividad general.
Pero este problema parece ser un problema en general para campos que aumentan sin límite a medida que la distancia a un objeto se reduce. Por supuesto, podría simplemente decir "El campo para cada objeto solo está definido por los otros objetos", pero entonces, ¿por qué tener el campo? ¿Por qué no decir simplemente que la fuerza sobre un objeto se define de esta manera? Parece innecesario definir un campo, especialmente uno que tenga valores en otro lugar que los objetos que realmente existen. Especialmente porque necesitaría tener varios campos / un campo hiperdimensional.
¿Cómo se resuelve esto?
Respuestas
Las masas puntuales y las cargas puntuales son objetos inherentemente singulares por exactamente la razón que indica. Son herramientas extremadamente útiles para fines de modelado, y así es precisamente como debe pensar en ellas.
En un contexto de teoría de campo clásica, la forma correcta de entenderlos es en el sentido limitante. Para definir rigurosamente cómo se comportará una masa puntual, puede reemplazarla con, por ejemplo, una esfera continua con volumen$V$ y densidad de masa constante $\rho = M/V$, y luego tomar el límite como $V\rightarrow 0$ mientras lo esté agarrando $M$ constante.
Este proceso de limitación a menudo conduce a grandes simplificaciones. Por ejemplo, una esfera continua en un campo gravitacional no uniforme experimentará fuerzas de marea y deformación elástica. En el limite como$V\rightarrow 0$, estas complicaciones desaparecen y la fuerza gravitacional sobre la bola converge a un buen valor medio. Además, los objetos extendidos experimentan momentos de torsión alrededor de sus centros, por lo que también debe considerar el movimiento de rotación; si tomamos el límite y consideramos solo masas puntuales, entonces este grado de libertad rotacional también puede ignorarse.
Por otro lado, si hacemos las preguntas incorrectas, este proceso limitante no nos da respuestas significativas. Si preguntamos por el campo gravitacional en la superficie de nuestra esfera continua, obtenemos una respuesta perfectamente finita, pero en el límite como$V\rightarrow 0$ esta cantidad diverge.
Las teorías de campo como la gravedad newtoniana, la GR y el electromagnetismo solo se comportan bien cuando las fuentes de esos campos (masa, energía / momento y carga / corriente) se tratan como distribuciones continuas. Tan pronto como se introducen las fuentes puntuales, debemos tener cuidado con las preguntas que hacemos, o corremos el riesgo de encontrarnos con infinitos falsos que finalmente surgen porque estamos tomando un límite mal definido sin darnos cuenta.
Parece innecesario definir un campo, especialmente uno que tenga valores en otro lugar que los objetos que realmente existen.
Resulta que esos campos en realidad transportan energía e impulso a través del espacio vacío entre los objetos, por lo que son bastante necesarios a menos que no le preocupe la energía y el impulso que se desvanecen de una región y luego reaparecen en un momento posterior en otra región.
Más allá de esto, observar cómo las partículas pequeñas responden a una influencia invisible en un espacio aparentemente vacío constituye un caso convincente para adoptar el punto de vista del campo.
Una misa $M$crea un campo en todas partes excepto en un punto: el lugar donde está. Si solo falla un punto, no creo que sea lo suficientemente dramático como para derribar todos los fenómenos maravillosos que los campos pueden explicar perfectamente.