Composición de isometrías: intuición
Quiero probar la siguiente afirmación.
Dejar $x$ ser un punto en $\mathbb{R}^3$. Primero rotar$x$ $\theta$ radianes sobre el $z$-eje y luego reflejarlo a través del $yz$avión. Escribe el$3 \times 3$ Representación matricial de esta composición de isometrías.
Aunque no entiendo bien la regla de la mano derecha o la derivación de esta matriz, creo que la matriz de rotación $\theta$ radianes sobre el $z$-eje es \begin{align*} \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*} También pude encontrar que un reflejo a través del $yz$-plano toma la forma: \begin{align*} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*} La matriz que gira y luego se refleja es: \begin{align*} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ - \sin \theta & - \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*}Mis preguntas son: primero, ¿es correcto? En segundo lugar, ¿cómo se le da sentido a lo que está pasando con estas matrices y de dónde vienen? Siento que me falta intuición.
Respuestas
Consideremos esta matriz primero:
\begin{align*} \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & \color{Red}0 \\ \sin \theta & \cos \theta & \color{Red}0 \\ \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & 1 \end{bmatrix}. \end{align*}
Observe que esta matriz es diagonal en bloque. El bloque superior izquierdo es un$2\times2$ matriz de rotación que describe lo que hace esta rotación 3D dentro del $xy$-avión. (Supongo que comprendes de dónde viene esta matriz 2D, corrígeme si me equivoco). El bloque inferior derecho es$1$ lo que significa que esta rotación fija el $z$-eje (y no lo estira ni nada). La columna roja de$0$s indica el $z$-El eje no se inclina hacia el $xy$-plano, y de manera similar la fila azul de $0$s indica el $xy$-el avión no se inclina hacia el $z$-eje cualquiera.
En general, si un operador lineal $T$ conserva dos subespacios complementarios $A$ y $B$, y se elige una base que es una unión de bases para $A$ y $B$, luego la matriz para $T$ es un bloque en diagonal, con un bloque que describe cómo $T$ actúa sobre $A$ y el otro describiendo cómo actúa sobre $B$(con respecto a sus respectivas bases). (Nótese un subespacio$W$ es preservado por $T$ Si $TW\subseteq W$, es decir $Tw\in W$ para todos $w\in W$.) En este caso los dos subespacios son los $xy$-plano y el $z$-eje, con la base estándar.
Del mismo modo, para una reflexión a través del $yz$-plano, sabes el $yz$-el avión es fijo (por lo que necesita un $2\times2$ matriz de identidad para el $yz$-coordenadas) y el $x$-Eje está invertido (por lo que necesita un $-1$ en la esquina superior izquierda), el resto es $0$s porque nuevamente el eje y el plano no se inclinan. Así que un reflejo a través del$yz$-plano será la matriz diagonal $\mathrm{diag}(-1,1,1)$.