Derivada funcional con variable discreta

Question

Problema

$$\text{Find}\quad\frac{\delta F_k}{\delta G} \quad \text{given} \quad F_k=\left(\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int_{-\infty}^{\infty} dt \ e^{i\omega t} G(r,t)\right)^{-1}$$

señalando que $k$ y $r$ son discretos mientras $\omega$ y $t$ son continuos.

Antecedentes

Estoy tratando de mostrar eso $F_k[G(r,t)]$ es muy sensible a las perturbaciones en $G(r,t)$. Por trabajo numérico, sé que este es (a menudo) el caso. En última instancia, me gustaría argumentar que construir$F_k$ midiendo $G(r,t)$no funcionará bien cuando la medición sea ruidosa. Pensé que una buena manera de demostrarlo era calcular la derivada funcional y mostrar que se agranda (o quizás diverge) en algunos lugares. Sin embargo, estoy haciendo algo mal.

Intento

Por la definición aquí :

$$\frac{\delta F_k}{\delta G}:\int dt \frac{\delta F_k}{\delta G}\eta(t)=\left[\frac{d}{d\epsilon}\left(\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int dt \ e^{i\omega t} G(r,t)+\epsilon\eta(t)\right)^{-1}\right]_{\epsilon=0}$$

Usando la regla de la cadena, $\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}=N\delta_{k,0}$ es decir, el delta de Kronecker, y la definición $G(k,\omega)\equiv\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int dt \ e^{i\omega t} G(r,t)$ transforma lo anterior en

$$\frac{-\int dt\sum_{r=0}^{N-1} e^{i(kr+\omega t)}\eta(t)}{\left(\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr}\int dt \ e^{i\omega t} G(r,t)\right)^{2}}=\int dt\frac{-\delta_{k,0} \ e^{i\omega t}}{G(k,\omega)^2}\eta(t)\to \frac{\delta F_k}{\delta G(r,t)}=\frac{-\delta_{k,0} \ e^{i\omega t}}{G(k,\omega)^2}$$

Sé que esto está mal porque estos números muestran que esto no es $0$ para todos $k\neq 0$. Sospecho que el problema tiene algo que ver con$\eta$ solo dependiendo de $t$ y no $r$, pero no estoy seguro de cómo contabilizar una variable discreta como $r$.

¿Resolución?

Creo que mi comprensión de la definición anterior probablemente sea incorrecta, y probablemente necesite una función de prueba que dependa de ambos $r$ y $t$? Me encantaría que la forma correcta de hacerlo se pareciera a

$$\frac{\delta F_k}{\delta G}:\sum_{r=0}^{N-1}\int dt \frac{\delta F_k}{\delta G}\eta(r,t)=\left[\frac{d}{d\epsilon}F_k\left[G(r,t)+\epsilon\eta(r,t)\right]\right]_{\epsilon=0}$$

pero mis matemáticas son demasiado débiles para afirmar que esta es la forma correcta, aunque parece que tiene algún sentido (para mí). Realmente no tengo idea de cómo manejar el hecho de que$r$es discreto. Si lo anterior es correcto, esto daría

$$ \frac{\delta F_k}{\delta G(r,t)}=\frac{-e^{i(\omega t+kr)}}{G(k,\omega)^2} $$

que es lo que esperaba mostrar desde $G(k,\omega)=0$ por al menos uno $\omega$ en cada $k$.

Buscando

Cualquiera de los siguientes

1. $\dfrac{\delta F_k}{\delta G}$
2. ¿Cómo abordar tales derivados funcionales?
3. ¿Qué pasa con mi intento?
4. Confirmar / negar la exactitud de mi "resolución".

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Responderé a sus preguntas no en su orden anterior, con el fin de responder posiblemente de una mejor manera.

1. ¿Cómo abordar tales derivados funcionales?

El enfoque que adoptó (aunque con algunos errores, como veremos a continuación) es el correcto, es decir $$ \frac{\delta F_k }{\delta G}[G](\eta) \triangleq DF_k[G](\eta) \triangleq \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d \epsilon}} F_k(G+\epsilon \eta)\right|_{\epsilon=0}\label{1}\tag{1} $$ Los cálculos deben hacerse ya que la mano derecha es una función de la variable real $\epsilon$: la definición no depende de cómo el funcional $F_k$ actúa sobre su argumento $G(r,t)$, por lo tanto, es independiente de la discreción y / o la continuidad de las variables involucradas. Veremos a continuación que la discreción y finitud de los valores de la variable$r= 0, 1, \ldots, N-1$, en este caso particular, se puede tratar de manera eficiente representando el argumento $G$ y la variacion $\eta$ como vectores en un $N$-espacio dimensional, pero esto de ninguna manera está implícito en la estructura de la ecuación \ eqref {1} en sí.
La estructura de los derivados funcionales se ilustra con cierto detalle en estas preguntas y respuestas : por las razones que se dan allí, verá que no es seguro confiar en la entrada de Wikipedia sobre el tema.

1. ¿Qué pasa con mi intento?

El principal desliz que se suele hacer (como en este caso y en este otro ) es esperar que este tipo de derivada tenga la estructura de una función: casi nunca es así. Habitualmente, las derivadas funcionales son operadores que mapean una variación.$\eta$ del argumento $G$del funcional a la variación del valor correspondiente del propio funcional. Respondiendo más extensamente este punto de la pregunta pregunta,

1. estás considerando variaciones del single $t$ variable: esto no es un error absoluto, ya que puede hacerlo lícitamente si está seguro de que la función de entrada $G=G(r,t)$ no puede cambiar su valor "aleatoriamente" si la variable discreta $r$se mantiene constante. Sin embargo, dado que está intentando analizar el rendimiento de$F_k$ en entradas ruidosas, debe considerar la posibilidad de tener $\eta=\eta(r,t)$ para $r=0, 1,\ldots,{N-1}$y
2. espera que la derivada funcional sea una función, mientras que es un operador integral: ver esto le ayudará a evaluar la variación de su funcional cuando se somete a entradas ruidosas.

1. $\dfrac{\delta F_k}{\delta G}$

Formalmente, poniendo $$ \begin{split} &\mathbf{r} =(0, 1, \ldots, {N-1}),\\ & e^{ik\mathbf{r}} =\big(1, e^{ik}, \ldots, e^{ik{(N-1)}}\big), \\ & \eta(\mathbf{r}, t) =\big(\eta(0,t), \eta(1,t), \ldots, \eta({N-1},t)\big), \end{split} $$ podemos escribir la derivada funcional de $F_k$ como $$ \begin{split} \frac{\delta F_k}{\delta G}[G](\eta) &= DF_k[G](\eta)\\ & =-\frac{{1}}{G(k,\omega)^2}\sum_{r=0}^{N-1} e^{ikr} \int \eta(r, t)\;e^{i\omega t} \mathrm{d}t\\ & = -\frac{{1}}{G(k,\omega)^2} \int \left\langle e^{ik\mathbf{r}}, \eta(\mathbf{r}, t)\right\rangle e^{i\omega t} \mathrm{d}t \end{split}\label{2}\tag{2} $$ dónde $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle:\Bbb R^N\times\Bbb R^N \to\Bbb R$es el producto escalar ordinario. Usando la ecuación \ eqref {2} y una elección adecuada de la variación$\eta(r,t)$, podrás analizar la sensibilidad de $F_k$ a variaciones particulares de su función de argumento $G$.

1. Confirmar / negar la exactitud de mi "resolución".

Su resolución es "casi correcta" en el sentido de que, después de realizar correctamente la derivada, debe elegir una variación adecuada. $\eta(\mathbf{r}, t) =\big(\eta(0,t), \eta(1,t), \ldots, \eta({N-1},t)\big)$para obtener su resultado. Y, obviamente, su elección debe ser coherente con el problema que está enfrentando.