Espectro de un $\ell^2$-operador

Question

Necesito encontrar el espectro $\sigma(T)$ del siguiente operador en $\ell^2$ (secuencias reales):

$$T(x)=(x_1,x_2,0,0,x_4,x_5,\dots) \;\; \forall x=(x_1,x_2,\dots) \in \ell^2$$

pero tengo algunos problemas (ayer publiqué una pregunta similar y se señaló que el operador era compacto pero esto no lo es)

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Tomar $y \in \ell^2$ y supongo $(T-\lambda)x=y$, tenemos las siguientes relaciones:

$$(1-\lambda)x_1=y_1 \\ (1-\lambda)x_2=y_2\\ -\lambda x_3=y_3\\ -\lambda x_4=y_4\\ x_4-\lambda x_5=y_5\\ x_5-\lambda x_6=y_6 \\ \vdots$$

de estos obtenemos

$$x_1=(1-\lambda)^{-1}y_1\\ x_2=(1-\lambda)^{-1} y_2\\ x_3=-\lambda^{-1} y_3\\ x_4=-\lambda^{-1} y_4\\ x_5=-\left(\lambda^{-1}y_5+\lambda^{-2} y_4 \right)\\ x_6=-\left(\lambda^{-1} y_6+\lambda^{-2}y_5+\lambda^{-3} y_4 \right)\\ \vdots$$

ahora no sé cómo determinar si o no $x \in \ell^2$.

Answer 1

EDITAR: Esto no es aplicable a la pregunta. Vea abajo.

Denote el operador como $P$. Debe quedar claro que$P$ es una proyección; $P^2=P^*=P$. Para cualquier proyección, el espectro es un subconjunto de$\{0,1\}$, con la excepción de uno como máximo. Podemos definir un inverso explícito en todos los demás casos:$(P-\lambda I)^{-1}=\frac{I}{-\lambda}+\frac{P}{\lambda-\lambda^2}$. Esto se puede verificar mediante el siguiente cálculo:\begin{align*} (P-\lambda I)\frac{1}{-\lambda}(I+\frac{P}{\lambda-1})&=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I+\frac{P^2}{\lambda -1}-\frac{\lambda P}{\lambda -1}]\\ &=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I-P]\\ &=I. \end{align*} El hecho de que se trate de una inversa de dos caras se deriva de protagonizar toda la ecuación, que no hace más que invertir el orden de la multiplicación.

EDITAR AQUÍ: El operador $T$ arriba toma $e_1\mapsto e_1,e_2\mapsto e_2,e_3\mapsto e_3$y luego avanza en los siguientes índices. Esto significa que$T$ tiene una descomposición como $I_3\oplus R$, dónde $I_3$ es el $3\times 3$ operador de identidad y $R$es el operador de turno correcto. El espectro de la suma directa de un número finito de operadores es la unión de sus espectros. El espectro del operador de identidad es$1$, y el espectro del operador de desplazamiento derecho es el disco unitario cerrado $\{z\in\mathbb C\,|\,|z|\le 1\}$. Entonces el espectro de$T$ es el disco de la unidad cerrada.