Función beta para QED
¿Cuál es la función beta de la electrodinámica cuántica?
No puedo encontrarlo en ninguna parte excepto en el artículo de Wikipedia sobre funciones beta , donde la función beta de un bucle viene dada por:$$\beta(\alpha) = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$ Sin embargo, usando la definición de la función beta $$\beta(\alpha) = \frac{d\alpha}{d\ln(\mu)}$$ uno obtiene: $$\frac{d\alpha}{d\ln(\mu)} = \frac{\alpha^2}{3\pi}$$
Después de reorganizar $$3\pi\frac{d\alpha}{\alpha^2} = d\ln(\mu)$$ e integrando $$-\frac{3\pi}{\alpha} = \ln(\mu) + C = \ln(\mu) - \ln(\mu_0) = \ln(\mu/\mu_0),$$ dónde $C = -\ln(\mu_0)$ es una constante de integración, el resultado es: $$\alpha(\mu) = -\frac{3\pi}{\ln(\mu/\mu_0)} = \frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)}$$ Esto da valores no negativos que aumentan monótonamente para $\alpha$ para $\mu < \mu_0$ con una singularidad en $\mu_0$ (Supongo que ese sería el polo Landau).
Sin embargo, para cualquier valor finito distinto de cero de $\mu_0$, $\alpha(0)$ parece ser $$\alpha(0) = \lim_{\mu\to0^+}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0/\mu)} = \lim_{\ln(\mu)\to-\infty}\frac{3\pi}{\ln(\mu_0)-\ln(\mu)} = 0,$$ mientras que por otro lado $\alpha \approx 1/137$ debería aparecer en energías bajas en lugar de cero.
¿Dónde está la trampa?
¿Falta algún término en la función beta anterior? Por ejemplo, reemplazando$\alpha^2$ con $(\alpha - \alpha_0)^2$debería dar el resultado esperado, pero no parece estar escrito así en ninguna parte. ¿Ese reemplazo está implícito de alguna manera en silencio?
Respuestas
Primero, una pequeña corrección al álgebra.
Te sigo hasta aquí.
\ begin {ecuación} 3 \ pi \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = d \ ln \ mu \ end {ecuación}
Entonces creo que debemos proceder con cuidado. El camino que tomaría sería integrar desde una escala de referencia$\mu_0$ a una escala de energía $q$. Entonces \ begin {ecuación} 3 \ pi \ int _ {\ mu_0} ^ q \ frac {{\ rm d} \ alpha} {\ alpha ^ 2} = \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {ecuación } Reorganizar esto da como resultado \ begin {ecuación} \ frac {1} {\ alpha (q)} - \ frac {1} {\ alpha (\ mu_0)} = - \ frac {1} {3 \ pi} \ ln \ frac {q} {\ mu_0} \ end {ecuación}
Si lo desea, puede reorganizar esto para obtener \ begin {ecuación} \ alpha (q) = \ frac {\ alpha (\ mu_0)} {1- \ frac {1} {3 \ pi} \ alpha (\ mu_0) \ ln \ frac {q} {\ mu_0}} \ end {ecuación}
Al derivar esto, hemos asumido implícitamente que podemos usar una aproximación de un bucle a la función beta. Esto requiere que no aparezcan los denominados "registros grandes". En la práctica, esto significa elegir una escala de referencia.$\mu_0$ que no sea muy diferente de la escala energética de los procesos que le interesan, $q$.
Tomando $q \ll \mu_0$, está rompiendo esta suposición y necesitaría reanudar los registros de registro en la función beta.
O puede elegir una escala de referencia $\mu_0$ que está en las energías de los experimentos que le interesan. A bajas energías, $\alpha(\mu_0)$ es pequeño, y entonces $\alpha(q) \approx \alpha(\mu_0)$.
Si eso parece insatisfactorio (¿qué quiero decir con grandes energías?), Solo tenga en cuenta que $\alpha(q)$ aumentará ligeramente al aumentar $q$. Si sigues emparejando$\mu_0$ a la escala energética $q$, eventualmente llegará a un punto donde el $\alpha(\mu_0)$ término en el denominador no se puede ignorar para un rango apreciable de $q$.