Inmersión suave sobreyectiva de $\mathbb C^2\setminus \{0\}$ a $\mathbb S^2$

Question

En el ejercicio 4-5 de la "introducción a las variedades suaves" de John M. Lee he demostrado que hay una inmersión suave sobreyectiva de $\mathbb C^2\setminus\{0\}$ a $\mathbb{CP}^1$, a saber, el mapa $\pi(z_1,z_2) = [z_1:z_2]$. El siguiente ejercicio pide mostrar que$\mathbb{CP}^1$ es difeomorfo a la esfera $\mathbb S^2$.

El teorema 4.31 establece que si $M, N_1$ y $N_2$ son colectores lisos, y $\pi_1 \colon M\to N_1$ y $\pi_2\colon M\to N_2$ son inmersiones suaves sobreyectivas que son constantes en las fibras de cada uno, entonces existe un difeomorfismo único $F\colon N_1\to N_2$ tal que $F\circ \pi_1 = \pi_2$.

Si es posible, me gustaría usar este teorema, porque ya tengo una inmersión suave sobreyectiva de $\mathbb C^2 \setminus \{0\}$ a $\mathbb{CP}^1$. Sin embargo, necesito ayuda para encontrar un buen mapa candidato de$\mathbb{C}^2\setminus \{0\}$ a $\mathbb S^2$. ¿Tienes alguna sugerencia? ¿O tiene un argumento de por qué esto no funcionaría? ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Como dice Jason DeVito, se puede usar el mapa $\mathbb C^2 \setminus 0\to \mathbb S^3:x\mapsto \frac{x}{|x|}$ seguido por el mapa $$ \mathbb S^3 \to \mathbb S^2 : (w,z) \mapsto \left( z\overline{w}+ w\overline{z}, iw\overline{z}-iz\overline{w}, z\overline{z}-w\overline{w} \right) $$ como se define en el ejercicio 2-3 (c) de la introducción de Lee a las variedades suaves.