Kernel e imagen de proyección ortogonal

Question

Dejar $X$ ser un espacio de Hilbert y $Y$ ser un subespacio cerrado, cada vector $x \in X$ se puede representar de forma única como $x=y+z$, $y \in Y$, $z \in Y^\bot$. Entonces el mapa$$P_Y:X \to X, \quad P_Y(x)=y$$ se llama proyección ortogonal en $X$ sobre $Y$.

Necesito probar eso $\text{Im}(P_Y)=Y$ y $\ker(P_Y)=Y^\bot$.

En cuanto a la imagen: el resultado parece seguir directamente de la definición: $$P_Y(x)=y \in Y \quad \forall x \in X \implies \text{Im}(P_Y)=Y.$$

Kernel: parece obvio pero es difícil pensar en alguna prueba.

Answer 1

Para la imagen, solo demostró una contención, a saber ${\rm im}(P_Y)\subseteq Y$.
La otra contención se mantiene porque$P_Y(y)=y$ para cada $y\in Y$.

Para el kernel, simplemente escriba las definiciones: suponga un arbitrario $x\in X$ se da, descomponerlo como $x=y+z,\ y\in Y,\ z\in Y^\perp$, luego $$P_Y(x)=P_Y(y+z)=y$$ Entonces es $0$ si $y=0$ si $x=z$ si $x\in Y^\perp$.