Medida de probabilidad para variable aleatoria continua

Question

Di una variable aleatoria continua $X \in \mathbb{R}$ tiene una función de densidad de probabilidad (pdf).

¿Es correcto que

cambiar la medida de probabilidad $\Rightarrow$ definir un nuevo pdf para X

?

En otras palabras, "cambiar la medida de probabilidad" es sólo una forma elegante de decir "ahora suponga que $X$ se distribuye según otro pdf?

Answer 1

Sí, la PDF clásica de la probabilidad inicial basada en cálculo es la “derivada Radon-Nikodym” de la medida de probabilidad con respecto a la medida de Lebesgue. Eso corresponde más o menos a tomar la derivada del CDF para obtener el PDF.

Aunque la clase de probabilidad de introducción hace que parezca que obtenemos CDF mediante la integración de densidades, los CDF provienen directamente de la medida de probabilidad, como $F_X(x) = P(X \le x)$ para la medida de probabilidad $P$. Los CDF son, en cierto sentido, más fundamentales para la probabilidad formal de la teoría de la medida, incluso si visualizarlos no es tan sencillo como un histograma o alguna otra descripción de la densidad.