Poses con solo preordenes de puntos

Oct 05 2020

Para un topos de Grothendieck $\mathcal{E}$, ¿son equivalentes las siguientes afirmaciones?

$(i)$ $\mathcal{E}$ es local.
$(ii)$ El morfismo geométrico diagonal $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \times \mathcal{E}$es una incrustación. (Aquí$\mathcal{E} \times \mathcal{E}$ es el topos del producto, no la categoría del producto).
$(iii)$ Para cada topos de Grothendieck $\mathcal{E}'$, $\mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E})$ es un pedido anticipado (sin transformaciones geométricas paralelas).

Las implicaciones $(i) \Rightarrow (ii)$ y $(ii) \Rightarrow (iii)$ sostener:

$(i) \Rightarrow (ii)$: Cualquier morfismo diagonal $X \to X \times X$(en cualquier categoría) es un mono dividido y un mono dividido de locales es una incrustación. El functor (olvidadizo) de locales a topos conserva el producto y convierte las incrustaciones de locales en incrustaciones geométricas.
$(ii) \Rightarrow (iii)$: Si $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \times \mathcal{E}$ es una incrustación, entonces el functor diagonal $\mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E}) \to \mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E} \times \mathcal{E}) \simeq \mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E}) \times \mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E})$debe ser plenamente fiel. Pero esto significa precisamente que$\mathrm{Geom}(\mathcal{E}', \mathcal{E})$ es un pedido anticipado.

Entonces, en resumen, es un topos con solo un preorden de $\mathcal{E}'$-puntos basados en cada $\mathcal{E}'$ ya localic?

Respuestas

18 SimonHenry Oct 05 2020 at 20:16

$(i) \Leftrightarrow (ii)$es verdadera y lo es la Proposición C.2.4.14 en Bocetos de un elefante de Peter Johnstone. De manera más general, muestra que un morfismo geométrico acotado$f: \mathcal{E} \to \mathcal{S}$ es local si y solo si $\mathcal{E} \to \mathcal{E} \times_{\mathcal{S}} \mathcal{E}$ es una incrustación.

$(ii)$ y $(iii)$ no son equivalentes: hay un gran espacio entre "la diagonal es un monomorfismo" y "la diagonal es una incrustación"

Para un ejemplo típico, tome una acción libre pero no apropiada de un grupo $G$ en un lugar (o espacio) $X$. Para arreglar la idea, toma$G = \mathbb{Z}$ actuando $X=S^1$ el círculo unitario por rotación en un ángulo irracional.

El topos de las gavillas equivariantes $X//G$ clasifica "órbitas" para la acción de $G$ en $X$, eso es un $G$-torrosor $T$ (un principale $G$-paquete) junto con un $G$-mapa equivariante $T \to X$. Debido a que la acción es gratuita, la categoría de punto en cualquier topos no tendrá morfismos no triviales.

Pero ese topos no es localic en absoluto: sus objetos sub-terminales son los $G$-subconjunto abierto invariante, por lo que en nuestro ejemplo concreto su único $\emptyset$ y $1$.

También se puede calcular el mapa diagonal. $\mathcal{T} \times \mathcal{T}$ puede demostrarse que es el topos correspondiente a la acción de $G \times G$ en $X \times X$. Subtopos de esto correspondería a$G \times G$-sublocales equivalentes de $X \times X$ y la diagonal no es $G \times G$-equivariante.

Para hacer una construcción más explícita, podemos usar eso para un grupo discreto $G$, un topos localic sobre $BG$ (el topos de $G$-set) es lo mismo que un local con un $G$-acción. $\mathcal{T}$ corresponde a $X$ con su $G$ acción. $\mathcal{T} \times \mathcal{T} \to BG \times BG$ también es local (producto del mapa local), y la localización correspondiente se obtiene tirando hacia atrás a lo largo del punto $* \to BG \times BG$, lo que permite ver que la configuración regional correspondiente es de hecho $X \times X$. Ahora si veo$\mathcal{T}$ encima $BG \times BG$ como $\mathcal{T} \to \mathcal{T} \times \mathcal{T} \to BG \times BG$, entonces corresponde al local $X \times G$ dónde $G \times G$ actúa sobre $X$ y $G$ por separado (para ser más simétrico, es el lugar de los trillizos $(x,x',g)$ dónde $x'=gx$).

Como local con $G \times G$ acción, el mapa diagonal de $\mathcal{T}$ por lo tanto corresponde al mapa $X \times G \to X \times X$ que envía $(g,x)$ a $(x,gx)$. Que es un mono porque$G$ actúa libremente, pero no se integra.