Pregunta sobre el anillo principal
Soy estudiante de matematicas. Simplemente confundo sobre algún concepto básico, así que lo pido aquí ...
En primer lugar, ideal principal significa ideal generado por un solo elemento, pero no sé qué significa "generado". ¿Cómo se define "generado"?
Vi algunos ejemplos en el libro de Dummit, y dicen 'El ideal trivial 0 y el ideal R son ambos principales: 0 = (0) y R = (1)'. Mi segunda pregunta es, si el anillo R es principal, entonces sus ideales son siempre principales.
¡Gracias por leer, y también espero que responda a mis pocas preguntas!
Respuestas
En general, si $R$ es un anillo y $S\subseteq R$ es un subconjunto, entonces el ideal generado por $S$ se define como la intersección de todos los ideales que contienen $S$como un subconjunto. En otras palabras, este es el ideal más pequeño (por inclusión) que contiene$S$. La notación es$(S)$.
En particular, si $S=\{a\}$ es un conjunto con un elemento entonces $(a)$ es el ideal más pequeño de $R$ que contiene el elemento $a$. Ahora si$R$ es un anillo con unidad, entonces es fácil ver que el conjunto:
$I=\{\sum_{i=1}^n r_ias_i: n\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ r_i,\ s_i\in R\}$
Es un ideal que contiene $a$. Por lo tanto$(a)\subseteq I$. Por otra parte,$(a)$ en sí mismo es un ideal que contiene $a$, as por las propiedades de un ideal debe contener todos los elementos de $I$. Entonces$I\subseteq (a)$también es cierto. Entonces esto implica$I=(a)$, encontramos una forma relativamente fácil de describir $(a)$.
Si también supiéramos que $R$ es conmutativa, entonces sería aún más fácil, entonces simplemente tendríamos $(a)=\{ra: r\in R\}$. (revisalo)
Bien, ahora a las definiciones. Un ideal$I$ se llama principal si hay alguna $a\in I$ tal que $I=(a)$. Un anillo$R$ Se llama anillo principal si todos sus ideales son principales.