Probar $\det(A+B)=\det(B)$ implica que $A = 0$

Question

primera vez aquí. Hice todo lo posible para traducir la pregunta:

Demuestre que la única matriz $A$ de tamaño $n\times n$ que verifican $\det(A+B)=\det(B)$, para cualquier $n\times n$ matriz $B$, es la matriz nula (la matriz llena de cero, aquí de tamaño n).

Pensé en usar la fórmula $\det(A)$ que usa matrices de tamaño $(n-1)$: imagen

Pero no puedo encontrar para que funcione. Algunas ideas ? No necesito una prueba completa, solo el comienzo para poder intentarlo porque estoy atascado

Answer 1

SUGERENCIA: Deja $v \in \mathbb{R}^n$, $v \neq 0$. Entonces el set$\{v\}$ puede extenderse a una base de $\mathbb{R}^n$. Utilice este hecho para probar, por contradicción, que$A$ no puede tener una columna distinta de cero.

Answer 2

Escribir $A = PJ_rQ$ dónde $P,Q$ son invertibles y $J_r$ es la matriz diagonal con $r$ "$1$"sy $n-r$ "$0$"s en la diagonal (entonces $r$ es el rango de $A$). Entonces con$B=-PQ$, tienes $\det(B) \neq 0$ y $$\det(A+B)= \det(P)\det(J_r - I_n) \det(Q)$$

cual es $\neq 0$ si $r=0$. Entonces$A$ tiene rango $0$, es decir $A = 0$.