Problema de Sylvester.
Un conjunto finito $S$de puntos en un plano tiene la propiedad de que una línea que pasa por dos de estos puntos pasa por un tercer punto. Demuestre que todos los puntos en$S$ son colineales.
Vi una prueba de este problema usando un principio extremo.
Suponga que los puntos no son colineales. Entre parejas$(p,L)$ que consta de una línea $L$ y un punto que no está en esa línea, elegimos uno que minimiza la distancia $d$ desde $p$ a $L$. Dejar$f$ ser el pie de la perpendicular desde $p$ a $L$. Hay (por supuesto) al menos tres puntos$a,b,c$ en $L$. Esto, dos de estos, dicen$a$ y $b$ están en el mismo lado de $f$. Dejar$b $ estar más cerca de $f$ que $a$. Entonces la distancia desde$b$ alinear $ap$ es menos que $d$. Contradicción.
Mi pregunta está en la última parte. No entiendo cómo "Entonces la distancia desde$b$ alinear $ap$ es menos que $d$. "Produce una contradicción. ¿Alguien puede explicar?
Respuestas
Al comienzo de la prueba hemos elegido $(p,L)$ tal que la distancia $d$ Entre $p$ y $L$ es mínimo entre todas las líneas y puntos que no están en esa línea.
La contradicción surge cuando producimos el par $(b, ap)$ con una distancia menor a $d$, que contradice la condición de minimidad en $(p,L)$.
"Geometría" podría ser una etiqueta.
EDITAR: en cuanto a por qué $b$ está más cerca de $ap$ que $p$ Es para $L$, considere el triángulo rectángulo $\triangle afp$.
$b$ está a un lado $af$. Su distancia de la línea$ap$ no puede exceder la altura de $\triangle afp$ con base $ap$.
Ya que $ap$ es la hipotenusa, $ap > af$.
Considerando el área de $\triangle afp$, vemos que la altura de $\triangle afp$ con base $ap$ es menor que la altura de $\triangle afp$ con base $af$, cual es $fp = d$.
Esto da el resultado deseado: la distancia de $b$ desde $ap$ es menos que $d$.
Para obtener una explicación visual de por qué la distancia desde $B$ a $AP$es más pequeño, aquí hay una ilustración. He escrito con mayúscula todas las etiquetas de puntos y he añadido$G$ y $H$, que son los pies de las perpendiculares de $B$ y $F$ alinear $AP$, respectivamente. Debe quedar claro que$PF > FH > BG$. La prueba formal usa triángulos y proporciones similares.
