Prueba $e^z$ es holomorfo

Question

Leí en alguna parte que $e^z$es una función holomórfica, pero no puedo pensar en una manera fácil de demostrarlo. Pensé en usar las ecuaciones de Cauchy Riemann, pero probablemente sea una exageración. ¿Existe un enfoque simple para demostrar que esta función es holomórfica?

Answer 1

Depende de tu definición de $e^z$. La definición más estándar es definirlo mediante la serie de potencias $$ e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}, $$ que se ve fácilmente como convergente en todas partes. Entonces puede usar el teorema general de que una serie de potencias define una función holomórfica en todas partes dentro de su radio de convergencia.

Answer 2

$e^{z}$ Se define como :

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}.$$

El radio de convergencia de esta serie es $\infty$. Por tanto, es una función analítica.

Answer 3

Otras respuestas asumen que está definiendo el exponencial en términos de series de potencias. Si tu defines$e^z = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y)$, verá lo siguiente:

1. Debido a que ambas funciones de coordenadas son infinitamente diferenciables, $e^z$ es infinitamente diferenciable en función de dos variables
2. $\frac{\partial}{\partial x} e^z = e^z$
3. $\frac{\partial}{\partial y} e^z = ie^z$

Ahora es tan simple como aplicar las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

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Para abordar si es "excesivo", en primer lugar, si funciona, funciona . Preocuparse por la exageración cuando ni siquiera ha terminado de resolver el problema es, bueno,https://stackify.com/premature-optimization-evil/.

En segundo lugar, a medida que avanza el curso, debería ir acumulando una lista de condiciones que son equivalentes a la holomorfia ("diferenciable complejo en cada punto de un conjunto abierto", "satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en cada punto del dominio", series de potencia en todos los puntos de un conjunto abierto ", ...).

En lugar de tratar de elegir el "mejor" del bate, probablemente sería más instructivo revisar la lista y ver cómo se aplica cada condición a$e^z$. Eso (a) le dará práctica con todo su conjunto de herramientas y (b) lo preparará para adaptar mejor la herramienta al problema en el futuro.