resolver: $xy''+2y'+xy=1$

Question

Dado que $y=\frac{\sin x}{x}$ es una solución para $xy''+2y'+xy=0$, resolver $xy''+2y'+xy=1$.

Mi intento:

$\begin{aligned}xy''+2y'+xy&=0\\y''+\frac2xy'+y&=0\\\begin{pmatrix} \frac{\sin x}x& u\\ \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2} & u' \end{pmatrix}&=\frac2x\\\frac{\sin x }{x}u'-\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}u&=\frac2x\\\left(u\frac{x}{\sin x}\right)'&=\frac{2x}{\sin^2x}\\u\frac{x}{\sin x}&=2\left(-x\cot x+\log\left(\sin x\right)\right)+c\\u&=2\left(-\cos x+\frac{\sin x\log\sin x}x\right)+c\frac{\sin x}x\\\end{aligned}$.

Entonces encontramos otra solución. Ahora intentemos encontrar una solución específica para:$y''+\frac2xy'+y=\frac1x$ El método del coeficiente indeterminado parece ser ineficaz aquí, ¿alguien tiene una solución eficiente para esto?

Answer 1

$$xy''+2y'+xy=0$$ Por método de reducción de pedido $$y=vy_1=v \dfrac {\sin x}x$$

Pero tu DE es simplemente $$(xy)''+xy=0$$ Y eso es fácil de resolver ya que es una ecuación diferencial de orden dos con coeficientes constantes. $$\implies r^2+1=0$$ $$\implies xy=c_1\cos x +c_2 \sin x$$ $$y(x)=\dfrac 1 x (c_1\cos x +c_2 \sin x)$$

O como sugiere @LutzLehmann en el comentario, una forma mucho mejor de resolver el DE es considerar: $$xy''+2y'+xy=1$$ $$(xy-1)''+(xy-1)=0$$ $$xy-1=c_1\cos x +c_2 \sin x$$ $$y(x)=\dfrac 1x(c_1\cos x +c_2 \sin x+1)$$

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Editar1

Con el método Wronskiano

Tu Wronskian no es correcto $W \ne \dfrac 2x$: $$W= \exp \int - \dfrac 2 x dx=\dfrac 1 {x^2}$$ Así que eso $$y_1y'_2-y'_1y_2=\dfrac 1 {x^2}$$ $$\left (\dfrac {y_2}{y_1} \right)'=\dfrac 1 {x^2}\dfrac {x^2}{\sin ^2 x}=\dfrac 1 {\sin^2 x}$$ $$y_2 = \dfrac {\sin x}{x} \int \dfrac {dx} {\sin^2 x}$$ $$y_2 = -\dfrac {\sin x \cot x}{x}$$ $$y_2 =- \dfrac {\cos x}{x}$$ La solución a la ecuación homogénea es: $$y(x)=c_1y_1+c_2y_2=\dfrac 1 x (c_1 \sin x+ c_2 \cos x)$$

Answer 2

Con el cambio de variables $v = xy$ obtenemos la siguiente ecuación diferencial

$$v''+v = 1$$

que tiene una solución general de

$$v = A\sin x + B\cos x + 1$$

lo que significa la solución general para $y$ es dado por

$$y = A\frac{\sin x}{x}+B\frac{\cos x}{x}+\frac{1}{x}$$

Si desea que la solución sea ampliable a una función suave en $0$, esto fuerza $B=-1$

Answer 3

$$y''-\frac{2}{x}y'+y=0~~~(1)$$, Si $y_1=\frac{\sin x}{x}$ es una solución de (1), luego la otra solución $y_2(x)$ es dado por $$y_2(x)=y_1(x) \int \frac{e^{\int p(x) dx}}{y^2_1(x)}dx,~ p(x)=-2/x$$ $$\implies y_2(x)= \frac{\sin x}{x} \int \frac{1}{x^2}\frac{x^2}{\sin ^2 x} dx$$ Uno puede ignorar el multiplicativo $-$ firmar para $y_2(x)$. $$\implies y_2(x)=\frac{\sin x}{x} \int \csc^2 x dx=-\frac{\cos x}{x}.$$ Para resolver la ecuación no homogénea $$Y''-\frac{2}{x}Y'+Y=\frac{1}{x}~~~(2)$$ Se puede utilizar el método de variación del parámetro que requiere $y_1(x), y_2(x)$, la solución de (2) está dada por $$Y(x)=C_1(x) y_1(x)+ C_2(x) y_2(x)~~~(3)$$ dónde $$C_1(x)=-\int \frac{y_2(x)/x}{W(x)} dx+D_1= \int \cos x dx+D_1=\sin x +D_1.$$ El Wronskiano $W(x)$ de $y_1,y_1$ es $-1/x^2$. Del mismo modo, tenemos$$C_2=\int \frac{y_1(x)/x}{W(x)} dx+D_2=-\int \sin x dx+D_2=\cos x +D_2.$$ Insertar, $y_1(x), y_2(x). C_1(x), C_2(x)$ en (3), obtenemos $$Y(x)=\frac{1}{x}[D_1 \sin x+ D_2 \cos x]+\frac{1}{x}[\sin^2 x+ \cos^2 x].$$ $$\implies Y(x)=\frac{1}{x}[D_1 \sin x+ D_2 \cos x]+\frac{1}{x},$$que es la solución de la EDO requerida (2). Para el método de variación de parámetros, consulte:

https://en.wikipedia.org/wiki/Variation_of_parameters