Sal en un recipiente - problema de ODE

Question

Trabajamos con un recipiente de agua que puede contener hasta 1000 litros. El depósito de agua contiene inicialmente 500 litros de agua, en los que se han disuelto 20 kg de sal. Hay agitación en el recipiente, por lo que la concentración de sal es la misma en todas partes.

El agua limpia fluye hacia el recipiente a una velocidad de 4 l / min. Al mismo tiempo, el agua salada sale del recipiente a una velocidad de 2L / min. Esto causa problemas ya que el contenedor solo tiene 1000 litros. Después de un rato, suena una alarma debido a un recipiente lleno.

(a) ¿A qué hora suena la alarma?

La ecuación diferencial que describe este problema viene dada por

$$y'=-\frac{2}{500+2t}\cdot y$$

Se indica que el contenido de sal es de 10 kg cuando suena la alarma, es decir $y(250)=10$. Justo cuando suena la alarma, el flujo de entrada cambia de modo que el agua salada fluye ahora con 35 g de sal por. litros adentro a razón de 1L / min. Todavía hay 2L fluyendo por. minuto.

(b) ¿Cuánta sal hay en el recipiente cuando nuevamente hay 500L en el recipiente?

---

Mi respuesta: Bueno (a) fue bastante fácil, obtuve que la alarma sonará después de 250 minutos desde $500+2\cdot 250=1000$y luego sonará la alarma. Pero la última parte, es decir (b) no es fácil para mí. Creo que tengo que hacer una EDO a partir de la información que acabo de recibir, pero aquí lo intenté muchas veces. Tenga en cuenta que este problema provino de un libro donde había más preguntas, solo elegí la parte relevante. (b) también se indica como "voluntario" en el libro. Tenga en cuenta que esto no es un problema de tarea.

Answer 1

Para la parte (b),

tienes $1000$ litro de agua para empezar que tiene $10$ kg de sal.

El volumen de agua se reduce a razón de 1 litro / min (1 litro entra y 2 litros sale cada minuto). Tomará$500$ minuto para reducir de $1000$ litro a $500$ litro.

Entonces, el volumen de agua que queda en el tanque después de un tiempo $t$ minutos $= 1000 - t$

La sal fluye a una velocidad de $0.035$ kg / min.

Di que hay $y$ kg de sal en un momento dado $t$ en $1000-t$ litro de agua.

Entonces a la hora $t$, la sal fluye a una velocidad de $\frac{y}{1000-t} \times 2$ (como $2$ litro por minuto fluyendo)

Entonces, tasa de cambio de sal $\frac{dy}{dt} = 0.035 - \frac{2y}{1000-t}$

Digamos $x = 1000 - t$ luego con sustitución,

$- \frac{dy}{dx} = 0.035 - \frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} - 0.035$ ...(yo)

Ahora, para resolver esta ecuación lineal, tenemos que usar el factor de integración. Usé WolframAlpha para verificar.

$\mu = e^{\int{-2/x \, dx}} = \frac{1}{x^2}$

Multiplicar ambos lados por $\mu$ en (i),

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x^3} = - \frac{0.035}{x^2} $

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2})y = - \frac{0.035}{x^2} $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$y = 0.035x + cx^2$

Sustituyendo de nuevo $x = 1000 - t$

$y = 35 - 0.035t + c(1000-t)^2$

A $t = 0$, Ahi esta $10$ kg de sal.

$10 = 35 + c \times 1000^2$

Entonces, constante $c = -\frac{25}{1000^2}$

A $t = 500$,

Sal total $y = 35 - 0.035 \times 500 - \frac{25}{1000^2} \times 500^2 = 11.25$ kg.