sumando esta serie binomial

Question

Encontré una pregunta realmente interesante que es la siguiente: Demuestre que el valor de $$\sum^{7}_{k=0}[({7\choose k}/{14\choose k})*\sum^{14}_{r=k}{r\choose k}{14\choose r}] = 6^7$$

mi acercamiento:

Intenté simplificar el sigma más interno y también intenté simplificar usando ${n\choose k}=n!/k!(n-k)!$ sin embargo, no puedo conseguir este.

Supongo que la suma se simplifica en una serie estándar, pero no puedo decirlo con certeza. Amablemente ayúdame.

Answer 1

En primer lugar, no creo que su suma sea del todo correcta. Los límites de la suma externa deben ser $k=0$ a $7$, Creo, de lo contrario el valor no es $6^7$. (Pregunta ahora corregida)

Estás en el camino correcto que te ayudará a reescribir los coeficientes binomiales en términos de factoriales. Aunque los factores dentro de la suma$r$no simplificarán mucho por sí mismos. La solución es traer el factor$1/\binom{14}{k}$en la segunda suma. Esto nos da$$ \left.\frac{r!}{k!(r-k)!}\frac{14!}{r!(14-r)!}\right/\frac{14!}{k!(14-k)!} = \frac{(14-k)!}{(r-k)!(14-k)!}\ . $$ Esto se puede reconocer como $\binom{14-k}{r-k}$. Tenga en cuenta que la suma interna es de$r = k$ a $14$, podemos dejar $t = r-k$y cambie los límites a $0$ y $14-k$. Esto convierte la suma interna en$$ \sum_{t=0}^{14-k} \binom{14-k}{t} = 2^{14-k}\ . $$ La suma externa ahora se puede evaluar, $$ \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} 2^{14-k} = 2^7\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k} 2^{7-k} = 2^7(1+2)^7 = 6^7\ . $$

Answer 2

Utilizando $${14 \choose r}{r \choose k} = {14 \choose k}{14-k \choose r-k}$$ dado se reduce a

$$ \begin{align*} & \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \bigg\{\sum^{14}_{r=k} {14-k \choose r-k} \bigg\} \\ & = \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \{2^{14-k}\} \\ & = 2^{7} \times \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} 2^{7-k} \\ & = 2^{7}\times(2+1)^{7} \\ & = 6^7 \end{align*} $$

Editar: como señaló @ElliotYu, el límite exterior debe ser de$0$ a $7$.

Answer 3

Ajuste $n=7$ obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{k=0}^n}&\color{blue}{\binom{n}{k}\binom{2n}{k}^{-1}\sum_{r=k}^{2n}\binom{r}{k}\binom{2n}{r}}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{k!(2n-k)!}{(2n)!}\sum_{r=k}^{2n}\frac{r!}{k!(r-k)!}\,\frac{(2n)!}{r!(2n-r)!}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\sum_{r=k}^{2n}\binom{2n-k}{r-k}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n }{k}\sum_{r=0}^{2n-k}\binom{2n-k}{r}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^{2n-k}\\ &=2^{2n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{2^k}\\ &=2^{2n}\left(1+\frac{1}{2}\right)^n\\ &\,\,\color{blue}{=6^n} \end{align*} y el reclamo sigue.