Variación anual de datos mensuales (devoluciones)

Question

No puedo determinar cómo establecemos la igualdad entre las dos expresiones entre corchetes en la imagen de abajo. El cuadrado de la suma se equipara con la suma de los cuadrados, lo que en general no es cierto. ¿Qué me estoy perdiendo? Gracias.

Answer 1

Podemos escribir la suma al cuadrado de los rendimientos residuales como

$$\left(\sum_{i=1}^{12} (r_i - \bar{r})\right)^2 = \sum_{i=1}^{12} (r_i - \bar{r})\sum_{j=1}^{12} (r_j - \bar{r}) = \sum_{i=1}^{12} \sum_{j=1}^{12}(r_i - \bar{r}) (r_j - \bar{r}) \\ = \sum_{i=1}^{12} (r_i - \bar{r})^2 + \underset{i\neq j}{\sum_{i=1}^{12} \sum_{j=1}^{12}}(r_i - \bar{r}) (r_j - \bar{r}) $$

Tomando el valor esperado, obtenemos

$$\sigma_y^2 = \mathbb{E} \left(\sum_{i=1}^{12} (r_i - \bar{r})^2 + \underset{i\neq j}{\sum_{i=1}^{12} \sum_{j=1}^{12}}(r_i - \bar{r}) (r_j - \bar{r}) \right) \\= \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^{12} (r_i - \bar{r})^2\right) + \mathbb{E}\left(\underset{i\neq j}{\sum_{i=1}^{12} \sum_{j=1}^{12}}(r_i - \bar{r}) (r_j - \bar{r})\right) $$

Para el segundo término en el lado derecho, tenemos

$$\mathbb{E}\left(\underset{i\neq j}{\sum_{i=1}^{12} \sum_{j=1}^{12}}(r_i - \bar{r}) (r_j - \bar{r})\right) = \underset{i\neq j}{\sum_{i=1}^{12} \sum_{j=1}^{12}}\mathbb{E}\left((r_i - \bar{r}) (r_j - \bar{r})\right)$$

Se le da "... los rendimientos mensuales ... no están correlacionados entre sí", lo que significa

$$\mathbb{E}\left((r_i - \bar{r}) (r_j - \bar{r})\right) = 0 \,\, \text{ for } i \neq j$$

Así,

$$\sigma_y^2 = \mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^{12} (r_i - \bar{r})^2\right) = \sum_{i=1}^{12} \mathbb{E}\left((r_i - \bar{r})^2\right) = 12 \sigma^2$$