Chaque singleton dans Postman Metric Space est ouvert?

Question

C'est une question de Metric Spaces par Jain et Ahmad.

Dans l'espace métrique$(\mathbb R^2, d)$ J'ai besoin de trouver si chaque ensemble de singleton est ouvert ou non, où

$d(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$

pour $x=(x_1, x_2)$ et $y=(y_1, y_2)$ dans $\mathbb R^2$

Ma tentative Je sais que la sphère ouverte centrée sur tout$x\in \mathbb R^2$sera un carré ouvert et il ne sera pas contenu dans l'ensemble de singleton considéré, mais la réponse dit que chaque singleton serait en fait un ensemble ouvert, sauf {0}. Veuillez aider.

Answer 1

C'est une erreur dans le livre. Comme vous l'avez trouvé correctement, pour la métrique$$d^{\ast\ast}(x,y) = \lvert x_1 - y_1\rvert + \lvert x_2 - y_2\rvert$$les boules ouvertes sont des carrés ouverts (avec les diagonales parallèles aux axes de coordonnées). Cette métrique induit la topologie standard sur$\mathbb{R}^2$, donc aucun ensemble fini non vide n'est ouvert. Les noms courants de cette métrique sont$\ell^1$-métrique (puisqu'elle est induite par le $\ell^1$-norm), Manhattan métrique (puisque Manhattan est quelque peu célèbre pour un réseau routier plus ou moins rectangulaire, donc la distance à parcourir entre deux points est la somme de la distance nord-sud et de la distance est-ouest) ou taxicab métrique .

Ils avaient probablement l'intention de donner la métrique comme $$d^{\ast\ast}(x,y) = \begin{cases}\qquad 0 &\text{if } x = y \\ \lVert x\rVert + \lVert y\rVert &\text{if } x \neq y \end{cases}$$ où $\lVert\,\cdot\,\rVert$ est une norme sur $\mathbb{R}^2$ (souvent euclidien, aka $\ell^2$, norme). Cette métrique a la propriété indiquée, pour$x \neq 0$ et $0 < r < \lVert x\rVert$ le ballon ouvert $B_r(x)$ est le singleton $\{x\}$.

Cette dernière métrique est - à mon avis à tort - également connue sous le nom de métrique British Rail, métrique SNCF ou métrique postale . Ces noms ne conviennent pas, car si deux points se trouvent sur la même ligne, il n'est pas nécessaire de passer respectivement par Londres ou Paris pour atteindre sa destination, alors que la métrique le dit.

Un nom plus approprié, sous lequel j'ai rencontré cette métrique pour la première fois, mais qui ne semble malheureusement pas s'être répandue, est la métrique des poissonniers gaulois . ("Das Meer? Was hat denn das Meer mit meinen Fischen zu tun?" Ma traduction: "La mer? Qu'est-ce que la mer a à voir avec mes poissons?"; Parce qu'il achète le poisson pour son magasin à Paris plutôt que de pêcher en la mer juste derrière le village comme l'a suggéré Astérix.)