Compactification en un point pour $(1,\infty)$?

Question

Laisser $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ être donné par la fonction $f(x) = 1/x$. Je voudrais construire une compactification en un point de la plage de cette fonction afin que je puisse convertir$(1,\infty) \mapsto S^1$. Je sais que je peux en quelque sorte unir un point à l'infini$(1,\infty)$et enroulez tout le graphique de la fonction dans un cercle et indiquez le point infini comme le point que nous avons ajouté à la sphère. Cependant, comment dois-je faire cela correctement? Dois-je construire un homéomorphisme comme la projection stéréographique qui compacte$\mathbb{R}^2$?

Merci!

Answer 1

Une approche plus détaillée n'utilisant pas beaucoup de résultats externes (et donc un peu encombrante) se déroule comme suit:

Votre intuition a raison, vous devez ajouter un point $p$à l'infini. Mais alors tu n'as que l'ensemble$X := (1,\infty) \cup \{p\}$ , mais ce que vous voulez, ce n'est pas un ensemble mais un espace topologique compact.

Par conséquent, vous devez définir une topologie sur $X$. La topologie$\mathcal T$nous définissons est celui qui formalise votre intuition de "envelopper le graphe entier de la fonction dans un cercle et indiquer le point infini comme le point que nous avons ajouté à la sphère". Par conséquent, nous prenons la topologie standard sur$(1,\infty)$, c'est-à-dire la topologie de sous-ensemble de $\mathbb R$ et développez-le par des ensembles contenant $p$que nous voulons être ouverts. À cette étape, vous devez réfléchir un peu, mais intuitivement, il devrait être clair quels ensembles nous avons choisis.

Nous avons maintenant obtenu un espace topologique $(X, \mathcal T)$ et il reste à montrer qu'il est homéomorphe à $S^1$(et compact). Ainsi, nous faisons la chose simple: nous définissons une carte$g:S^1 \to X$et montrer que c'est un homéomorphisme. Pour obtenir$g$ nous pouvons étendre $f$ à $[0,1]$ par $f(0)=f(1)=p$, qui descend au quotient $S^1 = [0,1] / \{0\sim 1\}$.

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Alors avons-nous vraiment eu une compaticifaction de $(1,\infty)$?

Une définition standard d'une compactification d'un espace $Y$ est une intégration $i:Y\to Z$ dans un espace compact $Z$ telle que l'image $i(Y)$ est dense dans $Z$, c'est-à-dire que sa fermeture est $\overline{ i(Y)} = Z$. Dans notre cas,$Y = (1,\infty)$, $Z = (1,\infty) \cup \{p\} = X$ avec les topologies respectives. $i$ est l'inclusion standard, c'est-à-dire l'identité sur $(1,\infty)$.
Nous devons montrer trois choses:

1. La carte $i$ est une intégration
2. Son image $i(Y)$ est dense dans $Z$.
3. L'espace $Z$ est compact.

Le premier est clair, $i$est injective, continue et homéomorphique sur son image (c'est l'identité).
Pour la deuxième partie, observez que$i(Y)$ n'est pas fermé (comme $\{p\}$ n'est pas ouvert par définition de $\mathcal T$), donc sa fermeture doit être $X$.
Donc, la seule partie non évidente est la troisième, montrant que$X$ est compact, ce que j'ai fait dans une partie précédente de la réponse.

Notez également que pour satisfaire les propriétés 1 et 2, il suffit d'unifier $Y$ avec un point $p$ avec l'ensemble $\{p\}$pas ouverte. Donc, la partie la plus difficile lors de la construction d'une compactification est 3. (c'est pourquoi souvent seulement 3. est prouvé explicitement).

Answer 2

Ajouter un point $\infty$ avec des quartiers ouverts basiques $\{\infty\}\cup(1,a)\cup (b,\infty)$, $1<a<b$.

Answer 3

$(1,\infty)$ est homéomorphe à $\Bbb R$, et les compactifications en un point d'espaces homéomorphes sont homéomorphes, $X$ et $Y$sont homéomorphes. Montrer que leurs compactifications en un point sont également homéomorphes. .

Mais, compactification en un point de $\Bbb R$ est $\Bbb S^1$, quelle est la compactification en un point de R?