Évaluer $\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)$

Question

Je suis censé évaluer l'intégrale $\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)$. Je l'ai résolu traditionnellement en simplifiant le différentiel à$1/x . \mathrm dx$. Cela donne la réponse comme$0$. Mais selon les solutions, la réponse suivante a été donnée pour être correcte.

$$\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)=\int_{1/e}^{e}x^2 \frac{1}{x}\mathrm dx=\frac{1}{2}\left(e^2-e^{-2}\right)$$

Je ne vois pas pourquoi la solution devrait être la suivante. En plus d'un logarithme, les limites de l'intégration sont$-1$ à $1$, ce qui semble problématique. Quelqu'un pourrait-il confirmer ce qui est correct. Merci.

Answer 1

@VIVID a raison. La notation intégrale peut parfois être trompeusement concise, comparée à des sommes telles que$\sum_{i=A}^{i=B}h(i)$. Il faut mettre l'équivalent de$i=$dans les limites ici. Quand on écrit$\int_a^bf(x)dg(x)$, la convention est que cela signifie $\int_{g(x)=a}^{g(x)=b}f(x)dg(x)$, qui pour augmenter strictement $g$ devient $\int_{x=g^{-1}(a)}^{x=g^{-1}(b)}f(x)g^\prime(x)dx=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(x)g^\prime(x)dx$.

La plupart du temps, vous ne rencontrez que le cas $g(x)=x$. En toute honnêteté, certaines sources entendront des limites$a,\,b$ pour $x$ au lieu de $g(x)$. Cela ne marcherait pas ici, cependant, parce que$\ln x$ n'est pas défini dans les réels pour $x\le0$.

Answer 2

Remarque: dans ce problème,$\ln x \in [-1,1]$ ce qui implique $x \in [1/e,~e]$( pas $x \in [-1,1]$).

Faire une substitution $(t = \ln x)$ pour voir ce qui se passe: $$\int_{-1}^{1}x^2\mathrm d(\ln x)=\int_{-1}^{1}x^2 \mathrm dt\overset{t~\to~ x}=\int_{1/e}^{e}x^2 \frac{1}{x}\mathrm dx=\frac{x^2}{2}\bigg|_{1/e}^e=\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2e^2}$$

Answer 3

nous avons: $$I=\int_{-1}^1x^2d(\ln x)$$ et rappelez-vous que nous pouvons écrire ceci comme suit: $$d(\ln x)=\frac{d(\ln x)}{dx}dx=\frac1xdx$$ cependant, nous devons également considérer que nous avons: $$(\ln x)\in[-1,1]\Rightarrow x\in[e^{-1},e]$$

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Une autre façon de penser à ce problème serait d'utiliser la substitution, ou quelque chose dont je trouve une belle visualisation: $$x=e^{\ln x}\Rightarrow x^2=\left(e^{\ln x}\right)^2$$ nous avons donc: $$I=\int_{-1}^1\left(e^{\ln x}\right)^2d(\ln x)=\left[\frac{e^{2\ln x}}{2}\right]_{\ln(x)=-1}^1$$

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Essayez également de tracer un graphique avec $\ln x$ sur l'axe des abscisses et $x^2$ sur l'axe des y et voir quelle forme cela forme, j'espère que cela aidera :)

Answer 4

Je ne suis pas d'accord avec toutes les réponses et je suis d'accord avec le point de vue du PO.

On peut soutenir que la variable indépendante est $x$ et l'intégrale aurait dû / aurait pu être expressément écrite comme

$$\int_{x=-1}^{x=1} x^2 d \ln x = \int_{x=-1}^{x=1} x\, dx =0.$$

Après tout, j'ai vu cette notation utilisée comme raccourci pour l'intégration par parties, et les limites se rapportant à la variable indépendante ($x$) et non à une fonction de la variable.

Le fait que $\ln x$ n'est pas défini pour $x=-1$n'exclut pas la possibilité que l'intégrale soit une intégrale de ligne dans le plan complexe. Peut-être une valeur principale. Ensuite, nous avons d'autres soucis (qui ne sont pas insurmontables), des points de branchement et des coupures de branche ...