Intégrale pondérée d'une convolution

Question

Après quelques expériences, il me semble que:

l'intégrale (dans tout le domaine) d'une convolution $(f*s)(x)$, d'une fonction de filtre$f(x)$avec une fonction de signal$s(x)$, multiplié par une fonction de pondération$w(x)$,

$$ \int (f*s)(x) \cdot w(x) \, dx $$

, lorsque toutes les fonctions sont intégrables ,

est égal à l'intégrale de la fonction de signal$s(x)$pondéré par la corrélation croisée $(f\star w)(x)$de la fonction filtre$f(x)$avec la fonction poids$w(x)$,

$$ \int (f\star w)(x) \cdot s(x) \, dx $$

Est-ce correct?

Si c'est le cas, quelle est la preuve?

Si ce n'est pas le cas, y a-t-il quelque chose de similaire qui permet de fusionner le filtre et les fonctions de pondération pour créer une nouvelle fonction de pondération?

Answer 1

Si je ne me trompe pas, il ne s'agit que de changer l'ordre d'intégration (qui doit être justifié par des conditions d'intégrabilité): \begin{align} \int (f*s)(x)w(x) dx & = \int\int f(y-x)s(y)dy\, w(x)dx\\ & = \int\int f(y-x)w(x)dx\, s(y)dy\\ & = \int (f\star w)(y)s(y)dy. \end{align}