Mappages de rangs constants et submersions

Question

Pour être clair: les objets dont nous parlons ici sont lisses ($C^\infty$) les variétés (sans limite) et la submersion est définie comme une carte entre variétés, qui a un rang constant égal à la dimension du codomaine.

En essayant de faire un exercice, je n'arrêtais pas de tomber sur l'idée que «la submersion est localement une projection et donc une carte ouverte». Cette idée n'est pas le problème. Le "problème" est le théorème qui énonce ce qui suit:

Laisser $M$ et $N$ être des collecteurs lisses, $dim M=m$, $dim N=n$, et laissez $f:M\to N$ être une cartographie fluide d'un rang constant $r$. Pour chaque$p\in M$ il y a un graphique (lisse) $(U, \varphi)$ à $p$ et graphique $(V, \psi)$ à $f(p)$, tel que $f(U)\subset V$ et tel que $f$ a une représentation coordonnée $$\psi \circ f \circ \varphi ^{-1} (x_1,\ldots ,x_r,x_{r+1}, \ldots ,x_m)=(x_1,\ldots ,x_r,0,\ldots ,0)$$

Cela ne signifie-t-il pas que chaque cartographie de rang constant, pas seulement les submersions, est localement une projection? Il me semble que j'ai complètement mal compris l'idée d '«être localement une projection», car cela devrait être quelque chose de très caractéristique des submersions. De plus, si chaque mappage de rang constant est localement une projection, cela signifierait qu'il n'y a pas de mappage de rang constant entre les variétés compactes et l'espace euclidien.

Donc, ma question est: que veulent dire les gens quand ils disent "la submersion est localement une projection"?

Answer 1

Cette forme locale $(x_1,\ldots, x_r,x_{r+1},\ldots, x_m)\to (x_1,\ldots, x_r,0,\ldots,0)$est écrit légèrement de manière trompeuse. Si nous examinons quelques cas particuliers, nous pouvons voir que ces cartes ne sont pas toutes des "projections" au sens où vous l'entendez. Si$m\ge n=r$, nous avons que la carte est de la forme $$ (x_1,\ldots, x_m)\mapsto(x_1,\ldots, x_r)$$et est en effet localement une projection authentique. Si$m\ge n>r$, alors la carte ressemble à $$ (x_1,\ldots, x_m)\mapsto (x_1,\ldots,x_r)\mapsto (x_1,\ldots, x_r,0,\ldots,0)$$et donc une composition d'une projection puis une inclusion. Dans le cas où$r=m\le n$, cette carte devient $$ (x_1,\ldots, x_m)\mapsto(x_1,\ldots, x_m,0,\ldots, 0)$$qui est une inclusion . Si$r<m\le n$, on a $$ (x_1,\ldots, x_m)\mapsto (x_1,\ldots, x_m,0,\ldots,0)\mapsto (x_1,\ldots, x_r,0,\ldots, 0)$$ qui est la composition d'une inclusion et d'une projection.

La morale de l'histoire est qu'il existe quelques comportements variés. Pour un exemple, prenons l'inclusion de$S^2\hookrightarrow \Bbb{R}^3$. C'est un rang constant$2$ map, donc le théorème nous dit que localement il ressemble à $(x_1,x_2)\mapsto (x_1,x_2,0)$. Ie localement, c'est une inclusion standard. C'est un exemple d'inclusion d'une variété compacte dans l'espace euclidien, et ne contredit pas le théorème.