Martingale intégrable carrée bornée

Question

Je suis perplexe face à la question suivante. Supposer$(X_n, \mathbb{F}_n)_{n\ge 0}$ est une martingale carrée intégrable et $\sup_k |X_k| \le C$ pour non aléatoire $C$. Laisser$D_k = X_k - X_{k-1}$ pour $k\ge 1$. Montrer$$ E\left[\left(\sum^k_{j=1} D_j^2 \right)^2 \right] \le 6 C^4 $$ pour toute $k$.

J'ai essayé de développer, en utilisant le fait que $D_j$ sont une moyenne nulle, non corrélées, mais je ne trouve pas de limite qui ne grandisse pas avec $k$.

Answer 1

Puisque $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une martingale carrée intégrable, nous savons d'après le décompositon de Doob que $X_n^2- \langle X \rangle_n$ est une martingale, où $$\langle X \rangle_n := \sum_{j=1}^n \mathbb{E}(X_j^2-X_{j-1}^2 \mid \mathcal{F}_{j-1})$$est le compensateur. En raison de la propriété martingale, nous avons également

$$\langle X \rangle_n = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}((X_j-X_{j-1})^2 \mid \mathcal{F}_{j-1}) = \sum_{j=1}^n \mathbb{E}(D_j^2 \mid \mathcal{F}_{j-1}).\tag{1}$$

Puisque $(X_n)_n$ est délimité par $C$, il s'ensuit que

$$\mathbb{E}(\langle X \rangle_n ) = \mathbb{E}(X_n^2)-\mathbb{E}(X_0^2) \leq \mathbb{E}(X_n^2) \leq C^2 \tag{2}$$

pour tous $n \in \mathbb{N}$.

Commençons maintenant à estimer le côté gauche de votre inégalité. Clairement,

$$\mathbb{E} \left( \left[ \sum_{j=1}^n D_j^2 \right]^2 \right) = S_1+S_2 \tag{3}$$

où \begin{align*} S_1 &:= \sum_{j=1}^n \mathbb{E}(D_j^4) \\ S_2 &:= 2 \sum_{j=1}^n \sum_{k>j} \mathbb{E}(D_j^2 D_k^2). \end{align*}

Puisque $D_j^2 \leq 4C^2$, nous voyons de $(1)$ et $(2)$ cette

$$S_1 \leq 4C^2 \sum_{j=1}^n \mathbb{E}(D_j^2) = 4C^2 \mathbb{E}(\langle X \rangle_n) \leq 4 C^4. $$

Estimer $S_2$ nous notons que, par la propriété de la tour d'espérance conditionnelle,

\begin{align*} \mathbb{E}(D_j^2 D_k^2) &= \mathbb{E} \big[ \mathbb{E}(D_j^2 D_k^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}) \big] \\ &= \mathbb{E}\big[ D_j^2 \mathbb{E}(D_k^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}) \big] \end{align*}

pour toute $j<k$. En résumé$k=j+1,\ldots,n$ rendements, par $(1)$,

\begin{align*} \sum_{k=j+1}^n \mathbb{E}(D_j^2 D_k^2) &= \mathbb{E} \left[ D_j^2 \sum_{k=j+1}^n \mathbb{E}(D_k^2 \mid \mathcal{F}_{k-1}) \right] \\ &\stackrel{\text{(1)}}{=} \mathbb{E}(D_j^2 (\langle X \rangle_n-\langle X \rangle_j)). \end{align*}

Si nous définissons $M_n := \langle X \rangle_n-X_n^2$, puis $M$ est une martingale et on peut écrire

\begin{align*} \sum_{k=j+1}^n \mathbb{E}(D_j^2 D_k^2) &= \mathbb{E}(D_j^2 (M_n-M_j)) + \mathbb{E}(D_j^2 (X_n^2-X_j^2)). \tag{4} \end{align*}

Puisque $(M_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une martingale, une application de la propriété de la tour donne

\begin{align*} \mathbb{E}(D_j^2 (M_n-M_j)) &= \mathbb{E} \bigg[ \mathbb{E}(D_j^2 (M_n-M_j)\mid \mathcal{F}_{j}) \bigg] \\ &= \mathbb{E} \bigg[ D_j^2 \mathbb{E}(M_n-M_j \mid \mathcal{F}_j) \bigg] = 0. \end{align*}

Pour le deuxième mandat à droite de $(4)$ on remarque que

$$\mathbb{E}(D_j^2 (X_n^2-X_j^2)) \leq \mathbb{E}(D_j^2 X_n^2) \leq C^2 \mathbb{E}(D_j^2).$$

Summig over $j=1,\ldots,n$ dans $(4)$, nous concluons que

$$\sum_{j=1}^n \sum_{k=j+1}^n \mathbb{E}(D_j^2 D_k^2) \leq C^2 \sum_{j=1}^n \mathbb{E}(D_j^2) \stackrel{(2)}{\leq} C^4.$$

La combinaison de toutes les estimations montre, par $(3)$, cette

$$\mathbb{E} \left( \left[ \sum_{j=1}^n D_j^2 \right]^2 \right) \leq 6 C^4.$$