Orbites de $\mathbb{Z}$ action sur $\mathbb{S}^1$

Question

Laisser $\mathbb{Z}$ agit sur $\mathbb{S}^1$ avec l'action $\phi (n)(z)=e^{i \alpha n}z$ défini pour $\alpha\in\mathbb{R}$ et $z\in\mathbb{S}^1$.

D'abord, nous voyons facilement que $\phi$ est stable sur $\mathbb{S}^1$.

Quelles sont les orbites de cette action? Pouvons-nous tous les décrire? Sont-ils liés à$O(2)$ groupe?

J'ai déjà fait des cas particuliers pour n'importe quel point $P$ dans $\mathbb{S}^1$:

• Pour $\alpha=0$, $\phi(n)(z)=Id_{\mathbb{S}^1}$
• Pour $\beta\in\mathbb{Z}^*$ tel que $2\pi/\alpha=\beta$ nous avons $\lvert\mathbb{Z}(P)\rvert=\beta$
• Pour $p/q\in\mathbb{Q}^*$ tel que $2\pi / \alpha=p/q$ nous avons $\lvert\mathbb{Z}(P)\rvert=p$
• Je pense pour $2\pi / \alpha$ comme irrationnel, l'orbite peut être $\mathbb{S}^1$ mais je ne peux pas le prouver.

Answer 1

Il y a deux cas. Si$\frac{\alpha}{2\pi} = \frac{p}{q}$ est rationnel et dans les termes les plus bas, chaque orbite a une taille $q$(comme tu dis). Sinon, si$\frac{\alpha}{2\pi}$ est irrationnel alors chaque orbite a un stabilisateur trivial, donc une copie de $\mathbb{Z}$. (L'orbite ne peut pas être$S^1$parce qu'il doit être dénombrable. Ce qui est vrai dans le cas irrationnel, c'est qu'aucune des orbites n'est fermée, et aucune de leurs fermetures est$S^1$.)