Propriété d'intégration

Question

Laisser $T>0$fixé. Laisser$f,g : [0,T] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ fonctions différenciables telles que, pour certains $c>1$, $$f(x) \geq c, \; \forall \; x \in [0,T] .$$

je le sais $f\cdot g$ est également intégrable.

Question. Est-il vrai que$$\int_{0}^T c \cdot g(x) \; dx \leq \int_{0}^T f(x) \cdot g(x) \; dx?$$

J'ai pensé appliquer l'intégration par parties pour essayer de le prouver, mais je n'ai rien pu conclure.

Answer 1

C'est faux. $f(x)=c+1$ et $g(x)=-1$ donne un contre-exemple.

Cependant, si nous avons aussi $g(x) \geq 0$ puis $f(x)g(x)-cg(x) \geq 0$ alors $\int_0^{T} [f(x)g(x)-cg(x)] \geq 0$ qui donne $\int_0^{T} f(x)g(x) \geq c \int_0^{T} f(x)dx$.