Un système inversible avec mémoire

Question

Supposer $\mathcal{L}$être système inversible avec mémoire. Est-ce que$\mathcal{L}^{-1}$ avoir nécessairement de la mémoire?

Intuitivement, je pense que la réponse est «oui». Il existe de nombreux exemples qui le montrent. Par exemple$\mathcal{L}(x(t)) = x(t-2)$ et $\mathcal{L}(x(t)) = x(\frac t 3)$. Un autre exemple qui me semble problématique est$$\mathcal{L}(x(t)) = \int_{-\infty}^{t}x(\lambda)d\lambda$$L'inverse est $$\mathcal{L}^{-1}(x(t)) = \frac{dx(t)}{dt}$$Le différenciateur a-t-il de la mémoire? Bien sûr, la question principale ici est celle de la mémoire d'un système inversible qui a de la mémoire. Notez qu'ici$\mathcal{L}$ peut également être non linéaire.

Pour plus de clarté, j'ajoute quelques définitions liées du livre d'Oppenheim:

Système inversible: un système est dit inversible si des entrées distinctes mènent à des sorties distinctes.

Système causal: Un système est causal si la sortie à tout moment dépend uniquement des valeurs de l'entrée à l'heure actuelle et dans le passé.

Système sans mémoire : un système est dit sans mémoire si sa sortie pour chaque valeur de la variable indépendante à un instant donné dépend uniquement de l'entrée à ce même moment.

Answer 1

Pour les systèmes temporels, je comprends qu'il est difficile d'imaginer une mémoire du futur. Mais pour les systèmes généraux,$-t$ et $t$sont juste à gauche et à droite (pensez à un système spatial). D'autres discussions sont dans le système LTI$y(t)=x(t−T)$avec ou sans mémoire , qu'est-ce qu'un système sans mémoire ? , ou Une question sur le concept du temps .

Par définition d'inversibilité, $\mathcal{L}^{-1}$ est telle que $\mathcal{L}^{-1}( \mathcal{L}(x))=x$. Mais aussi ça$\mathcal{L}( \mathcal{L}^{-1}(x))=x$(en passant, les dérivées et les intégrales ne sont pas des inverses). Supposons l'inverse:$ \mathcal{L}^{-1}$n'a pas de mémoire. Par conséquent$\mathcal{L}^{-1}(x[n]))$ ne peut utiliser que l'état actuel, et $\mathcal{L}$ ainsi que de céder $(x[n])$.

Donc si $\mathcal{L}^{-1}$ est sans mémoire, $\mathcal{L}$est également sans mémoire. Par contraposition, le convergent est vrai