(9- और 15-आयामी) उत्तल सेट की एक जोड़ी के लिए जॉन दीर्घवृत्त क्या हैं $4 \times 4$ सकारात्मक-निश्चित मेट्रिसेस?
9- और 15-आयामी उत्तल सेटों के लिए जॉन दीर्घवृत्त ( JohnEllipsoid ) क्या हैं ($A,B$) का $4 \times 4$सकारात्मक-निश्चित, ट्रेस -1 सममित (हर्मिटियन) मेट्रिसेस (क्वांटम-सूचना पार्लेंस में, "टू-रेबिट" और "टू-क्वबिट" "डेंसिटी मैट्रिस " [ डेंसिटीमैट्रिस ) के सेट) क्रमशः? (क्या ये निकाय "प्रमेय-सममित" हैं, जो कि प्रमेय जॉन थ्योरीम के एक पहलू के अर्थ में हैं )
इसके अलावा, इन दीर्घवृत्तों के संबंध (चौराहे,…) क्या हैं जो महत्वपूर्ण उत्तल उपसमूह में हैं $A$ तथा $B$ उन मैट्रिसेस से बना है जो आंशिक ट्रांसपोज़ेशन के सकारात्मक (निश्चित रूप से पॉजिटिव) ऑपरेशन के तहत बने रहते हैं - जिनके द्वारा चार $2 \times 2$ के ब्लॉक $4 \times 4$जगह-जगह मैट्रप ट्रांसपोट किए जाते हैं? (यह स्थापित किया गया है [ MasterLovasAndai ] कि इन "PPT" के कब्जे वाले यूक्लिडियन आयतन के अंश [सकारात्मक-आंशिक-संक्रमण / वियोज्य / गैर-संकेंद्रित] उत्तल उपसमूह हैं$\frac{29}{64}$ के लिये $A$ तथा $\frac{8}{33}$ के लिये $B$।)
इसके अलावा, इन इंलिप्सोइड्स का "इंसर्फेस" (उत्कीर्ण अधिकतम बॉल्स) से क्या संबंध है $A$ तथा $B$[ SBZ ])? पीपीटी सेट के भीतर भी शिलालेख झूठ बोलते हैं। जॉन ellipsoids और inspheres बस संयोग हो सकता है?
इसके अतिरिक्त, इन पीपीटी सेटों के लिए जॉन एलिपोसिड्स स्वयं क्या हो सकते हैं?
एक "स्टीयरिंग दीर्घवृत्त" की एक दिलचस्प अवधारणा है, जिसे निम्नलिखित उद्धरण पी में संदर्भित किया गया है । 28 [स्टीयरिंगइलिपोसिड] :
दो-qubit राज्यों के लिए, सामान्यीकृत सशर्त राज्यों में ऐलिस बॉब की बलोच क्षेत्र के अंदर एक दीर्घवृत्त बनाने के लिए बॉब की प्रणाली को संचालित कर सकता है, जिसे स्टीयरिंग दीर्घवृत्त (Verstraete, 2002; शिया) अल अल, 2011; 2012; जेवेटिक एट अल, 2014; )।
हालांकि, "बलोच क्षेत्र" 3-आयामी है, इसलिए दो-क्विट राज्य की स्टीयरिंग दीर्घवृत्त (15-आयामी) जॉन दीर्घवृत्त से ऊपर का अनुरोध नहीं किया जा सकता है।
बेशक, सवाल यह है कि जॉन दीर्घवृत्त क्या हैं जो उत्तल सेट के लिए कहा जा सकता है $m \times m$ सममित और $n \times n$ हर्मिटियन (सकारात्मक-निश्चित, ट्रेस 1) घनत्व मैट्रीस ($m,n \geq 2$)। के लिये$m,n=2$उत्तर तुच्छ प्रतीत होते हैं, अर्थात् उत्तल खुद को सेट करता है। के लिये$m,n =3$, यह संभवतः nontrivial लगता है। केवल, हालांकि, के समग्र मूल्यों के लिए$m,n$, पीपीटी-राज्यों के उत्तल सबसेट के बारे में हमारे पास सहायक प्रश्न हैं।
ऊपर दिए गए पहले हाइपरलिंक द्वारा दिए गए विकिपीडिया लेख में
"अधिकतम मात्रा में अंकित दीर्घवृत्त को आंतरिक लोवेनर-जॉन दीर्घवृत्त के रूप में वर्णित किया गया " है।
[ घनत्वमात्राएं ]: स्लाटर - सामान्यीकृत दो-तरफा हिल्बर्ट के लिए एक संक्षिप्त सूत्र-श्मिट अलगाव संबंधी संभावनाएं
[ जॉन थियोरम ]: हावर्ड - जॉन एलिपोसिड प्रमेय
[ MasterLovasAndai ]: स्लाटर - मास्टर Lovas-Andai और समकक्ष सूत्रों का सत्यापन$\frac8{33}$ दो-चौथाई हिल्बर्ट-श्मिट पृथक्करण संभावना और साथी तर्कसंगत-मूल्यवान अनुमान
[ SBZ ]: Szarek, वेनगटसन, और Życzkowski - सकारात्मक आंशिक पक्षांतरित साथ राज्यों के शरीर की संरचना पर
[ स्टीयरिंगईलिपोसिड ]: उल्ला, कोस्टा, गुयेन और गुन्ने - क्वांटम स्टीयरिंग
जवाब
आइए हम दो स्पष्ट रूप से प्रासंगिक सूत्रों के साथ शुरुआत करें। पहली मात्रा के लिए है$k$-डिमेटिक इलिप्सिड [थम। २.१, एलीपोसिडोल्यूम ], \ _ {समीकरण {Vol_k = \ frac {२ \ pi ^ {k / २} \ _ \ _ \ _ = १} ^ k k a_i} {k \ Gamma \ left (\ frac {k}} २ } (दाएं)}, \ अंत {समीकरण} जहां$a_i$अर्द्ध कुल्हाड़ियों की लंबाई हैं।
अन्य के सेट की मात्रा के लिए है $m \times m$सममित, ट्रेस 1 [(7.7), RebitVolume ] के सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स । \ start {समीकरण} Vol_m = \ frac {2 ^ {\ frac {1} {4} (m-1) m + m} \ sqrt {m} \ pi ^ {\ frac {1} {4} (m-) 1) m- \ frac {1} {2}} \ Gamma \ left (\ frac {m + 1} {2} \ right) \ prod = _ l = 1} ^ m \ Gamma \ left (\ frac {l) } {2} + 1 \ right)} {मीटर! \ Gamma \ left (\ frac {1} {2} m (m + 1) \ right)}। \ अंत {} समीकरण
"(दो-रेबिट") मामले के लिए $m=4$ ($k=9$) तत्काल ब्याज की, सूत्र पैदावार \ _ {समीकरण} \ frac {\ pi ^ 4} {60480} \ लगभग 0.0016106। \ अंत {} समीकरण
इसलिए, हमारे लिए विशेष रुचि का प्रश्न यह है कि इस वॉल्यूम के अनुपात में आंतरिक लॉयनर-जॉन दीर्घवृत्त द्वारा संकेतित 9-आयामी सेट के उत्तल सेट के लिए किसका कब्जा है। $4 \times 4$(घनत्व) मेट्रिसेस। इसके अलावा, इसकी तुलना में इसकी परिमाण क्या है$\frac{29}{64}$Lovas और Andai द्वारा पृथक्करण के लिए स्थापित अंश- समकक्ष, PPT- दो-रेबिट राज्यों की संभावना? इसके अलावा, इंफ़ेयर की मात्रा के साथ तुलना में (जिसके लिए हमारे पास तत्काल वर्तमान गणना नहीं है)।
इसलिए, इन सवालों से निपटने के लिए, हमने जिनिब्रे-एसेम्बल तरीकों का उपयोग करके, बेतरतीब ढंग से बनाए गए "टू-रिबिट डेंसिटी मैट्रिसेस" (सेकंड, 4, रैंडम डेंसिटीमैट्रिसेस ) की जोड़ी बनाई। फिर, हमने उनके अंतरों के पूर्ण मूल्यों को लिया और 2. विभाजित दो स्वतंत्र प्रविष्टियां (तीन विकर्ण वाले, और छह ऊपरी ऑफ-विकर्ण वाले) परिणामी मैट्रिक्स के अर्ध-कुल्हाड़ियों के रूप में ली गईं।
इस समय, हमने सोलह मिलियन के करीब ऐसे जोड़े उत्पन्न किए हैं। की जोड़ी$4 \times 4$ घनत्व मैट्रिक्स जिसके लिए हमने संबद्ध अधिकतम दीर्घवृत्त मात्रा पाई है, $6.98613 \cdot 10^{-8}$ (केवल 0.0000432642 का $\frac{\pi ^4}{60480} \approx 0.0016106$), अब तक \ समीकरण {\ _} (बाएं से शुरू (सरणी) {cccc} 0.424772 & -0.147161 & -0.3345 & -0.177458 \\ -0.147161 और 0.164668 और 0.146384 और 0.0925659 \\ -0.3345 और 0.146384 / 0.2938787 हैं। 0.157489 \\ -0.177458 और 0.0925659 और 0.157489 & 0.11669 \\ \ एंड {एंड} {एरे} \ राइट} \ समीकरण} और \ _ शुरू {समीकरण} \ _ (बाएं से शुरू (सरणी) / cccc} 0.135144 और 0.189631 और -0.03164 & 0.145386 \\ 0.189631 और 0.449171 & -0.180868 और 0.347037 \\ -0.03164 & -0.180868 और 0.126351 & -0.128246 \\ 0.145386 और 0.347037 और -0.128246 और 0.289334 \\ \\ {अंत {सरणी} {सही)। \ n {समीकरण} अग्रणी तीन विकर्ण प्रविष्टियों के इन दो मैट्रिक्स के लिए पूर्ण अंतर का आधा हिस्सा और ऊपरी छह ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियों को ऊपर दिए गए पहले सूत्र में नौ अर्ध-अक्षों के रूप में उपयोग किया जाता है।
आइए हम यह भी बताते हैं कि एक विकल्प है - लेकिन कुछ सामान्यीकरण कारकों के बराबर-के संस्करणों की गणना करने के लिए दृष्टिकोण $m \times m$घनत्व मैट्रीस ( AndaiVolume )। हालांकि, औराई ने इस ओर ध्यान आकर्षित किया$2 \times 2$ हर्मिटियन केस, और ऊपर प्रस्तुत Zyczkowski और Sommers के वॉल्यूम सूत्र का एक स्पष्ट विकल्प नहीं दिया - इसलिए, इस बिंदु पर समय में, हम निश्चित नहीं हैं कि यह किस रूप में ले जाएगा।