अभिन्न डोमेन और क्षेत्र के बीच की गतिशीलता इंजेक्शन है?

Question

मैं अभी अपने रैखिक बीजगणित के नोट्स में निम्नलिखित कथन पढ़ता हूं: A को एक अभिन्न डोमेन और K को एक फ़ील्ड बनाएं। कोई भी नॉनजेरो रिंग मॉर्फिज्म$\phi : A \to K$ इंजेक्शन है।

मुझे लगता है कि रूपवाद पर विचार करके यह कथन गलत है $$\phi : \mathbb Z \to \mathbb Z /2 \mathbb Z$$ $$n \to [n]$$ यह एक अभिन्न डोमेन और एक क्षेत्र के बीच एक रूपवाद है लेकिन स्पष्ट रूप से इंजेक्शन नहीं है।

तो क्या बयान गलत है? मैं प्रतिरूप के बारे में निश्चित हूं, लेकिन हर बार जब मैं अपने शिक्षक के नोट्स से असहमत था, तो मैं गलत था।

Answer 1

तुम सही हो। कथन क्या होना चाहिए, इसके लिए यहां दो संभावनाएं हैं:

1. से कोई भी रूपवाद $K \to A$ इंजेक्शन है (क्योंकि कर्नेल का एक आदर्श है $K$ और केवल आदर्श हैं $(0)$ तथा $(1) = K$) का है। यह इतना मायने नहीं रखता है$A$ यह जानने के अलावा कि यहां एक अभिन्न डोमेन है $A \neq 0$। अगर$A$ थे $0$ तब फिर $K \to 0$ गैर-इंजेक्शन है।

2. वो नक्शा $A \to \operatorname{Frac}(A)$ इंजेक्शन है।