अभिन्न को हल करने के लिए पार्सेवल-प्लानचेरल पहचान का उपयोग कब संभव है?
अभिन्न रूप का है $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$। जहां के फूरियर ट्रांसफॉर्म$\sigma$ समारोह है $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ और समारोह $\mu(x)$ द्वारा दिया गया है $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$।
के फूरियर रूपांतरण $\mu(x)$ काफी आसानी से पाया जा सकता है $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$।
सवाल यह है की:
क्या पार्सेवल-प्लानचेरल पहचान का उपयोग करना संभव है और उपरोक्त अभिन्न रूप में लिखना $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$?
यदि ऐसा है, तो उपरोक्त अभिन्न हो जाता है $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$
जो फूरियर ट्रांसफॉर्म की तरह दिखता है $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$समारोह। इस फूरियर रूपांतरण की गणना कैसे की जाती है?
जवाब
पहचान है कि फूरियर के परिवर्तन याद करते हैं $K(x)=\text{sech}(x)$ है $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$।
इस पहचान के फूरियर रूपांतरण का उपयोग करना $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ आसानी से गणना की जा सकती है
\ start \ समीकरण} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} e ^ {- ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \, \ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left (\ frac {\ pi p} {2} \ right) \ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left) \ frac {\ pi p} {2} \ right) \ right) \ लेबल {पहचान} \ अंत {समीकरण}
इस संबंध के समीकरण का उपयोग करते हुए, दिए गए अभिन्न को आसानी से एकीकृत किया जा सकता है
\ start {समीकरण} \ frac {i} {2} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {- i (a + 1) p} \ text {sech} \ left (\ f {) cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left (\ frac {\ pi (\ Lambda_h + 1))} {| c |} \ दाएँ) ) \ लेबल {बाकी} \ अंत {समीकरण}
संख्यात्मक रूप से उत्तर की जाँच करना। प्लॉट: लगातार एक प्लॉट लगातार c