अभिसरण के विश्लेषण में प्रेरण का अनुप्रयोग एक अनुक्रम परिभाषित पुनरावर्ती है।
चलो $\left\{a_{n}\right\}$ द्वारा पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए $$ a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}}, \quad n \geq 1 $$ किसके लिए निर्धारित करें $a_{1}$ अनुक्रम अभिसरण करता है और अभिसरण के मामले में इसकी सीमा पाता है।
मेरा दृष्टिकोण: ध्यान दें$$a_{n +1}=\frac{1}{4-3a_{n}}, \quad n\geq 1$$ इसलिए, सबसे पहले मैं खोजना चाहूंगा $a_{n}$। अब, मैं एक पैटर्न ढूंढने की कोशिश कर रहा था, लेकिन मैं यह \ _ {eqnarray *} n = 1 नहीं ढूँढ सकता / सकती हूं और a_ {2} = \ frac {1} {4-3a_ {1}} = \ frac {(3 ^ {2-1} -1) - (3 ^ {2-1} -3) a_ {1}} {(2 ^ {2}) - (3 ^ {2} -6) a_ {1 }} \\ n = 2 & \ _ का मतलब है & a_ {3} = \ frac {1} {4-3a_ {2}} = \ frac {1} {4-3 \ left (\ frac {1}} 4- 3a_ {1}} \ right)} = \ frac {4-3a_ {1}} {4 (4-3a_ {1}) - 3} \\ \ vdots & \ implies & \ vdots \\ के अंत {eqnarray * } अगर मुझे पता है$a_{n}=a_{n}(a_{1})$, इसलिए जब मैं निष्कर्ष के लिए हर का विश्लेषण कर सकता हूं $a_{n}$ परिभाषित नहीं है।
कैसे पा सकते हैं $a_{n}$?
इसके अलावा मुझे पता है कि इस समस्या का जवाब यहां दिया गया था । लेकिन मुझे लगता है, हम इंडक्शन ऑन का उपयोग करके एक प्राथमिक समाधान पा सकते हैं$n$।
जवाब
यदि अनुक्रम में परिवर्तित होता है $L$, पुनरावृत्ति के दोनों किनारों पर सीमा को दर्शाता है
$$L=\frac1{4-3L}\,,$$
या $3L^2-4L+1=0$। द्विघात कारक अच्छी तरह से:$(3L-1)(L-1)=0$, तो केवल संभव सीमाएं हैं $L=\frac13$ तथा $L=1$।
स्पष्ट रूप से अनुक्रम अपरिभाषित है अगर $a_1=\frac43$ और निरंतर अगर $a_1=\frac13$ या $a_1=1$।
- अगर $a_k<1$, तब फिर $1<4-3a_k$, तथा $0<a_{k+1}<1$।
- अगर $a_k>\frac43$, तब फिर $a_{k+1}<0$, तोह फिर $0<a_{k+2}<1$।
- अगर $1<a_k<\frac43$, चलो $r=a_k-1$; तब फिर$0<3r<1$, तोह फिर $$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{1-3r}=\sum_{n\ge 0}(3r)^n>1+3r>a_k\,.$$ अनुक्रम में सीमा नहीं हो सकती है $\left(1,\frac43\right]$, तो या तो यह हिट $\frac43$ और मर जाता है, या $a_\ell>\frac43$ कुछ के लिए $\ell>k$, और फिर $a_n\in(0,1)$ सबके लिए $n\ge\ell+2$।
इस प्रकार, यदि $a_1$ वास्तव में एक अनंत, निरंतर क्रम उत्पन्न करता है, वह क्रम समाप्त हो जाता है $(0,1)$। वहां क्या होता है?
- अगर $\frac13<a_k<1$, चलो $r=a_k-\frac13$। फिर$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1-r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}r^n\,,$$ तोह फिर $$a_{k+1}-\frac13=\frac13\sum_{n\ge 1}r^n=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}r^n=ra_{k+1}<r=a_k-\frac13\,,$$ तथा $a_{k+1}<a_k$। इस मामले में अनुक्रम को अभिसरण करना चाहिए$\frac13$।
- अगर $0<a_k<\frac13$, चलो $r=\frac13-a_k$। फिर$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1+r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n\,,$$ तोह फिर $$\begin{align*}\frac13-a_{k+1}&=\frac13-\left(\frac13+\frac13\sum_{n\ge 1}(-1)^nr^n\right)=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^{n+1}\\&=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n=ra_{k+1}<r=\frac13-a_k\,,\end{align*}$$ तथा $a_{k+1}>a_k$। फिर से अनुक्रम में परिवर्तित होता है$\frac13$।
हमने अब वह कर दिखाया है $a_1=1$ निरंतर अनुक्रम देता है $a_k=1$ सबके लिए $k\ge 1$, और हर दूसरे प्रारंभिक मूल्य या तो एक अनुक्रम में परिवर्तित होता है $\frac13$ या एक जो अंततः मर जाता है क्योंकि कुछ $a_k=\frac43$। यह केवल यह निर्धारित करने के लिए रहता है कि कौन से प्रारंभिक मूल्य कुछ हैं$a_k=\frac43$।
हल करना $y=\frac1{4-3x}$ के लिये $x$, हम पाते हैं कि $x=\frac{4y-1}{3y}=\frac43-\frac1{3y}$। चलो$b_1=\frac43$, और के लिए $k\ge 1$ चलो $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$। इंडक्शन पर दिखाना आसान है$k$ उस $a_k=\frac43$ अगर और केवल अगर $a_1=b_k$, तोह फिर $\{b_k:k\ge 1\}$ प्रारंभिक मानों का एक समूह है जो एक अभिसरण अनुक्रम नहीं देता है, और यह केवल संख्याओं के लिए एक बंद रूप खोजने के लिए रहता है $b_k$।
अगर हम लिखते हैं $b_k$ एक अंश के रूप में $\frac{c_k}{d_k}$, तब फिर
$$b_{k+1}=\frac{\frac{4c_k}{d_k}-1}{\frac{3c_k}{d_k}}=\frac{4c_k-d_k}{3c_k}\,,$$
तोह फिर $c_{k+1}=4c_k-d_k$, तथा $d_{k+1}=3c_k$प्रारंभिक स्थितियों के साथ $c_1=4$ तथा $d_1=3$। फिर$c_{k+1}-d_{k+1}=c_k-d_k$, इसलिए प्रेरण द्वारा $c_k-d_k=c_1-d_1=1$ सबके लिए $k\ge 1$। यह इस प्रकार है कि$c_{k+1}=d_{k+1}+1=3c_k+1$। पुनरावृत्ति को हल करना$c_{k+1}=3c_k+1$ प्रारंभिक मूल्य के साथ $c_1=4$ किसी भी मानक विधि से, हम पाते हैं कि
$$c_k=\frac{3^{k+1}-1}2$$
और इसलिए वह
$$d_k=\frac{3^{k+1}-3}2\,,$$
ताकि
$$b_k=\frac{3^{k+1}-1}{3^{k+1}-3}\,.$$
अपडेट: धन्यवाद ब्रायन एम। स्कॉट आपकी अंतर्दृष्टि के लिए।
मैं मामला जोड़ूंगा जहां कुछ $a_k=\frac 43$। प्रति ब्रायन, हमें अनुक्रम के लिए हल करने की आवश्यकता है$b_k$ ऐसा है कि $b_1=\frac 43$, $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$। यह एक समान फैशन में हल किया जा सकता है, लेकिन आसान है$b_1$ दिया हुआ है।
ध्यान दें कि $$ b_{k+1} - 1 = \frac{b_k-1}{3b_k}$$$$ b_{k+1} - \frac 13 = \frac{b_k-\frac{1}{3}}{b_k}\tag 1 $$
से $(1)$ हम निष्कर्ष निकालते हैं $b_k>\frac 13, \forall k$ प्रेरण के माध्यम से।
फिर $\frac{b_{k+1}-1}{b_{k+1}-\frac 13} = \frac{1}{3} \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} \implies \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} = \frac{1}{3^{k-1}} \left( \frac{b_1 - 1}{b_1 - \frac 13}\right) = \frac{1}{3^k}$
इसलिए $b_k = \frac{1 - \frac{1}{3^{k+1}}}{1-\frac{1}{3^l}} = \frac{3^{k+1} -1}{3^{k+1}-3}$ जो ब्रायन के परिणामों के समान है।
मूल उत्तर:
जबसे $1$ तथा $\frac 13$ विशेषता समीकरण की जड़ें हैं $x=\frac{1}{4-3x}$, अपने पास
$$a_{n+1}-1 = \frac{3(a_n-1)}{4-3a_n}$$
$$a_{n+1}-\frac 13 = \frac{a_n-\frac 13}{4-3a_n}$$
इसलिए यदि नहीं $a_n = \frac 13$ आपके पास
$$\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-\frac 13} = 3 \frac{a_n-1}{a_n-\frac 13} = 3^n \frac{a_1-1}{a_1-\frac 13}$$
बेशक आपको उस मामले का ध्यान रखने की जरूरत है जहां $a_1=\frac 13$।
फ़ंक्शन को परिभाषित करें $$ f(a)=\frac1{4-3a}\tag1 $$ ध्यान दें कि $$ \begin{align} f(a)-a &=\frac{(3a-1)(a-1)}{4-3a}\tag{2a}\\ &\left\{\begin{array}{} \lt0&\text{if }a\in\left(\frac13,1\right)\cup\left(\frac43,\infty\right)\\ \gt0&\text{if }a\in\left(-\infty,\frac13\right)\cup\left(1,\frac43\right) \end{array}\tag{2b} \right. \end{align} $$ के लिए दो क्रमों पर विचार करें $n\in\mathbb{Z}$, $$ \begin{align} p_n &=\frac{3^{n-1}+1}{3^n+1}\tag{3a}\\ &=\frac13\left(1+\frac2{3^n+1}\right)\tag{3b} \end{align} $$ तथा $$ \begin{align} q_n &=\frac{3^{n-1}-1}{3^n-1}\tag{4a}\\ &=\frac13\left(1-\frac2{3^n-1}\right)\tag{4b} \end{align} $$ कहां है $q_0=\pm\infty$।
ध्यान दें कि $$ \begin{align} f(p_n)&=p_{n+1}\tag{5a}\\ f(q_n)&=q_{n+1}\tag{5b} \end{align} $$ जहां, के मामले में $q_0$, $$ \begin{align} f(q_{-1})&=f\!\left(\tfrac43\right)=\infty=q_0\tag{6a}\\ f(q_0)&=f(\infty)=0=q_1\tag{6b} \end{align} $$ अंतराल को परिभाषित करें $$ \begin{align} P_n&=(p_{n+1},p_n)\tag{7a}\\ Q_n&=(q_n,q_{n+1})\tag{7b} \end{align} $$ कहां है $Q_{-1}=\left(\frac43,\infty\right)$ तथा $Q_0=\left(-\infty,0\right)$:
ऊपर दिए गए एनीमेशन में, ठोस लाल और हरे रंग की रेखाएं हैं $P_n$ तथा $Q_n$। तीर बिंदीदार अंतराल की ओर इशारा करते हैं$P_{n+1}$ तथा $Q_{n+1}$। यदि अंतराल लाल हैं$f(a)\lt a$ उस अंतराल पर और अगर हरा $f(a)\gt a$; इन अंतरालों का वर्णन किया गया है$(2)$।
जबसे $f'(a)\gt0$ को छोड़कर $q_{-1}=\frac43$ (जो बीच में है $Q_{-2 }$ तथा $Q_{-1}$), हमारे पास पूर्वाग्रह हैं $$ \begin{align} f&:P_n\to P_{n+1}\tag{8a}\\ f&:Q_n\to Q_{n+1}\tag{8b} \end{align} $$ जबसे $$ \bigcup_{n\in\mathbb{Z}}P_n\cup\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}Q_n\cup\left\{p_n:n\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{q_n:n\in\mathbb{Z}^{\ne0}\right\}=\mathbb{R}\tag9 $$ $(5)$ तथा $(8)$ सिवाय इसके कि सभी बिंदुओं के लिए दिखाएं $\left\{q_n:n\le0\right\}\cup\{1\}$, $f$ करने के लिए एक seqence परिवर्तित उत्पादन होगा $\frac13$ (एक भी कह सकते हैं कि $q_{-\infty}=1$) का है।
संकेत: यदि $a_1<1$, यह देखना आसान है $a_n<1$ और फिर चलो $b_n=a_n-\frac13$। अगर$a_1\in(1,\frac43)$, यह देखना आसान है $a_n\in(1,\frac43)$ और फिर चलो $b_n=a_n-1$। बाकी काम आप कर सकते हैं।
बिना प्रेरण के ।
यदि आप यहाँ वर्णित चरणों का पालन करते हैं जो मैंने इस प्रश्न का उत्तर देते हुए कहानी को छोटा बना दिया$$a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}} \qquad \text{with} \qquad a_1=c$$ $$a_n=\frac 13\frac{c \left(3^n-9\right)-(3^n-3) } {c(3^n-3)-(3^n-1) }$$
अब, आपको @Brian एम। स्कॉट के अच्छे विश्लेषण से अच्छे परिणामों तक पहुंचने के लिए विभिन्न मामलों पर विचार करने की आवश्यकता है।