आदर्श और आंतरिक उत्पाद स्थान की परिभाषा
मैं नॉर्मड वेक्टर स्पेस और इनर प्रोडक्ट स्पेस के बारे में कुछ विकिपीडिया पेज पढ़ रहा था और परिभाषाओं में, वे हमेशा वेक्टर स्पेस के बारे में बात करते हैं$\Bbb R$ या $\Bbb C$।
क्या यह इसलिए है क्योंकि अधिकांश उपयोगी मानदंड और आंतरिक उत्पाद स्थान खत्म हो गए हैं $\Bbb R$ या $\Bbb C$ या क्या वे स्पेस केवल उन विशिष्ट क्षेत्रों पर वेक्टर स्पेस के लिए परिभाषित हैं?
संपादित करें: इस विषय पर इस पोस्ट की टिप्पणियों में बहस करने के बाद मैं अपने प्रश्न को फिर से लिखना चाहता हूं:
चलो $V$ एक क्षेत्र में एक वेक्टर स्थान हो $\mathbb F$। कैसी हालत चाहिए$\Bbb F$ अगर हम चाहें तो सत्यापित करें $V$एक आंतरिक उत्पाद अंतरिक्ष में सक्षम होने के लिए? कैसे एक आदर्श वेक्टर अंतरिक्ष के बारे में?
जवाब
मेरा मानना है कि यह किसी भी मानक क्षेत्र पर काम करता है (कम से कम आदर्श स्थान, आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के लिए, मुझे यकीन नहीं है, क्योंकि आपको जटिल संयुग्मन के लिए कुछ सामान्यीकरण की आवश्यकता होगी)। एक आदर्श क्षेत्र$k$ एक क्षेत्र एक आदर्श से सुसज्जित है $||\cdot||: k\to \mathbb{R}_{\ge0}$ ऐसा है कि
- $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
- $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$
- $||a\cdot b|| = ||a||\cdot||b||$
यदि आपका क्षेत्र $k$ असतत मूल्यांकन है $\nu$ जिसे आप परिभाषित करके एक मानदंड बना सकते हैं $||x||:=\exp(-a\nu(x))$ किसी भी सकारात्मक के लिए $a$...
किसी भी मामले में, मुझे यकीन है कि बॉरबकी आपको सबसे सामान्य परिभाषा प्रदान करेगी।
और यदि आप उस शर्त को शिथिल करना चाहते हैं जो आदर्श नक्शा है $\mathbb{R}_{\ge0}$, मुझे लगता है कि ऐसा करने का एक तरीका भी है, और बस इसे किसी तरह से पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेमिनार के लिए मैप करना है ...