आदेश 25 के दो परिमित क्षेत्रों के बीच एक समरूपता का निर्माण।
विचाराधीन फ़ील्ड \ _ {समीकरण *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1), \ \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}) हैं। \ end {समीकरण *} मुझे पता है कि उपरोक्त फ़ील्ड्स के बीच एक आइसोमॉर्फिज़्म है क्योंकि वे समान क्रम के परिमित क्षेत्र हैं। मेरा विचार प्रत्येक क्षेत्र की इकाइयों के समूह का एक जनरेटर खोजने के लिए था, और एक जनरेटर को दूसरे में मैप करके एक आइसोमोर्फिज़्म का निर्माण करना था।
मैने पाया कि $x+2$ उत्पन्न करता है $(\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1))^{\times}$ तथा $1+\sqrt{2}$ उत्पन्न करता है $\mathbb{F}_5(\sqrt{2})^{\times}.$ फिर, नक्शा बुला रहा है $\varphi$, मैंने भेजा $x+2$ सेवा मेरे $1+\sqrt{2}$ जो देता है, पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, $\varphi(x)=\sqrt{2}+4$ जहां मैंने यह भी इस्तेमाल किया कि कोई भी आइसोमॉर्फिज्म बेस फील्ड को ठीक करेगा $\mathbb{F}_5$। समस्या यह है कि नक्शा\begin{align*} \varphi:&\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1)\longrightarrow \mathbb{F}_5(\sqrt{2})\\ &a+bx \mapsto a+4b+b\sqrt{2} \end{align*} संतुष्ट नहीं करता है $\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$ सबके लिए $f,g \in \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1).$ क्या यह सामान्य दृष्टिकोण के लिए गलत है?
जवाब
हमने देखा कि $\omega$, एकता की एक आदिम तीसरी जड़, के रूप में न्यूनतम बहुपद है $f(x)=x^2+x+1 \in \mathbb{F}_5[x]$। जैसा$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},$ यह निम्नलिखित समरूपता देता है $\varphi:$ \begin{align*} \varphi: \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1) &\longrightarrow \mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})\\ g(x)&\longmapsto g(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}). \end{align*} हालाँकि, $-3=2 \in \mathbb{F}_5$ तथा $\mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})=\mathbb{F}_5(\sqrt{-3})$so \ start {समीकरण *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1) \ cong \ mathbb {F} _5 (\ frac {-1+ \ sqrt {-3}} # 2 }) = \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2})। \ अंत {समीकरण *}