आदेश के गैर-यूरोपीय समूहों का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व $p^3$?
जब आप ऑर्डर के समूहों को देखते हैं $p^3$ (विषम के लिए $p$) वहां $2$ग़ैर। एक हेइज़ेनबर्ग समूह है जिसे एक सेमीडायरेक्ट उत्पाद के रूप में देखा जा सकता है$C_p \times C_p$ तथा $C_p$।
जीएपी के साथ कुछ संगणनाओं के आधार पर मैं देख रहा हूं कि दूसरा उत्पाद एक सेमीडायरेक्ट उत्पाद है $C_{p^2}$ साथ में $C_p$।
क्या इस अन्य समूह को एक परिचित मैट्रिक्स समूह के रूप में देखा जा सकता है?
gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"
जवाब
एक शब्द में, 'नहीं'। नोटिस जो$\mathrm{GL}_n(q)$ के लिये $q$ की एक शक्ति $p$ आदेश का कोई तत्व नहीं हो सकता $p^2$ जब तक $n>p$। इस प्रकार$p$ बढ़ता है मैट्रिक्स समूह का आकार बढ़ना है।
यह विशेषता नहीं के क्षेत्रों पर एक समान कहानी है $p$। कोई भी$1$समूह के आयामी प्रतिनिधित्व कर्नेल में केंद्र है। एकमात्र वफादार प्रतिनिधि के पास कम से कम डिग्री है$p$।
इसलिए इस समूह में डिग्री से कम का कोई वफादार प्रतिनिधित्व नहीं है $p$ किसी भी क्षेत्र में।
संपादित करें: किसी भी क्षेत्र में कोई मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व नहीं है, लेकिन एक रिंग के ऊपर है । यह समूह द्वारा दिया गया है$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$
मुझे यह पता चला किथ कोनराड के नोट्स अभी-अभी देख रहे हैं।